Начнём, пожалуй :)

Вчера из доклада Бунимовича узнал о забавной игре.
Пусть много раз подкидывается честная монетка, а игроки выбирают (разные) слова из "О" и "Р" (орёл и решка). Чьё слово выпало первым, тот выиграл.

Понятно, что если первый игрок сказал "О", а второй "Р", то монетку потребуется подкинуть только один раз, и шансы на выигрыш у игроков одинаковые.

А что, если слова более длинные?

Оказывается, что игра получается нетранзитивной, и какого-либо "самого лучшего слова" нет. А именно — пусть слова должны быть одинаковой длины n, не меньшей трёх, и сначала первый игрок говорит своё слово, а потом второй выбирает своё.

Так вот — тогда, какое бы слово первый игрок не назвал, второй может ответить так, чтобы иметь вероятность выигрыша, строго большую (1/2).

Пример: пусть первый игрок называет ООО.

Ответ второго — РОО, и его вероятность выигрыша — 7/8(!).

Действительно, первый тогда может выиграть _только_ если на первых трёх подбрасываниях выпадут три орла.

Если этого не произошло — то выпала хотя бы одна решка, и дальше второй всегда выиграет за шаг до того, как у первого будет хотя бы шанс выкинуть третьего орла

(В первый раз, когда выпадут два орла подряд, перед ними должна быть решка — иначе это не первый раз — и вот второй и выиграл)

Так вот — игра как "камень-ножницы-бумага", на любое слово первого у второго есть выгодный ответ.

Называется она "Penney's game" (https://en.wikipedia.org/wiki/Penney%27s_game ), а формулу для отношения вероятностей выигрыша игроков придумал Конвей.

Формула, кстати, очень интересная.

Сначала для пары слов A, B (пусть пока одинаковой длины) сделаем следующее: напишем B под A, будем сдвигать его на 1 вправо на каждом шаге, и будем писать 1, если на пересечении они совпадают, а 0, если нет.

Например: A=РООР, B=ОРОР.
РООР
ОРОР
не совпадают — пишем 0.

РООР
-ОРОР
на пересечении не совпадают — пишем 0.

РООР
--ОРОР
А вот теперь совпадают, ОР=ОР, пишем 1