Оказывается, что игра получается нетранзитивной, и какого-либо "самого лучшего слова" нет. А именно — пусть слова должны быть одинаковой длины n, не меньшей трёх, и сначала первый игрок говорит своё слово, а потом второй выбирает своё.
Так вот — тогда, какое бы слово первый игрок не назвал, второй может ответить так, чтобы иметь вероятность выигрыша, строго большую (1/2).
Ответ второго — РОО, и его вероятность выигрыша — 7/8(!).
Действительно, первый тогда может выиграть _только_ если на первых трёх подбрасываниях выпадут три орла.
Если этого не произошло — то выпала хотя бы одна решка, и дальше второй всегда выиграет за шаг до того, как у первого будет хотя бы шанс выкинуть третьего орла
(В первый раз, когда выпадут два орла подряд, перед ними должна быть решка — иначе это не первый раз — и вот второй и выиграл)
Так вот — игра как "камень-ножницы-бумага", на любое слово первого у второго есть выгодный ответ.
Называется она "Penney's game" (https://en.wikipedia.org/wiki/Penney%27s_game ), а формулу для отношения вероятностей выигрыша игроков придумал Конвей.
Сначала для пары слов A, B (пусть пока одинаковой длины) сделаем следующее: напишем B под A, будем сдвигать его на 1 вправо на каждом шаге, и будем писать 1, если на пересечении они совпадают, а 0, если нет.
Например: A=РООР, B=ОРОР.
РООР
ОРОР
не совпадают — пишем 0.
РООР
ОРОР
не совпадают — пишем 0.
Получается 0010. А теперь интерпретируем это как двоичную запись числа — и полученное число обозначим как (A,B). То есть мы только что посчитали, что
(РООР, ОРОР) = 2.
(РООР, ОРОР) = 2.
шансы на победу у слов B и A относятся, как
(A,A)-(A,B) к (B,B)-(B,A).
(A,A)-(A,B) к (B,B)-(B,A).
Например, для A=ООО, B=РОО, легко посчитать, что
(A,A)={111}_2 = 7,
(A,A)={111}_2 = 7,