Пример: пусть первый игрок называет ООО.

Ответ второго — РОО, и его вероятность выигрыша — 7/8(!).

Действительно, первый тогда может выиграть _только_ если на первых трёх подбрасываниях выпадут три орла.

Если этого не произошло — то выпала хотя бы одна решка, и дальше второй всегда выиграет за шаг до того, как у первого будет хотя бы шанс выкинуть третьего орла

(В первый раз, когда выпадут два орла подряд, перед ними должна быть решка — иначе это не первый раз — и вот второй и выиграл)

Так вот — игра как "камень-ножницы-бумага", на любое слово первого у второго есть выгодный ответ.

Называется она "Penney's game" (https://en.wikipedia.org/wiki/Penney%27s_game ), а формулу для отношения вероятностей выигрыша игроков придумал Конвей.

Формула, кстати, очень интересная.

Сначала для пары слов A, B (пусть пока одинаковой длины) сделаем следующее: напишем B под A, будем сдвигать его на 1 вправо на каждом шаге, и будем писать 1, если на пересечении они совпадают, а 0, если нет.

Например: A=РООР, B=ОРОР.
РООР
ОРОР
не совпадают — пишем 0.

РООР
-ОРОР
на пересечении не совпадают — пишем 0.

РООР
--ОРОР
А вот теперь совпадают, ОР=ОР, пишем 1

РООР
---ОРОР
опять не совпадают, пишем 0

Получается 0010. А теперь интерпретируем это как двоичную запись числа — и полученное число обозначим как (A,B). То есть мы только что посчитали, что
(РООР, ОРОР) = 2.

Формула Конвея:

шансы на победу у слов B и A относятся, как
(A,A)-(A,B) к (B,B)-(B,A).

Например, для A=ООО, B=РОО, легко посчитать, что
(A,A)={111}_2 = 7,

(A,B)={000}_2= 0,

(B,A)={011}_2= 3,

(B,B)={100}_2 = 4.

Получаем
(7-0):(4-3) = 7:1,
как мы уже видели в самом начале.