То есть — новая дробь это всегда "сумма двоечника своих соседей", числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Такую "сумму" называют медиантой; то, что она заключена между этими дробями, можно увидеть по-всякому, но лучше всего опять переходом от "проективной" картины к линейной. А именно — сопоставим каждой дроби p/q точку (p,q) плоскости; тогда взятие медианты это просто сложение векторов:

А разность двух соседних дробей a/b и c/b в любой последовательности Фарея — это 1/(bd). Что, опять-таки, можно угадать, посмотрев на несколько примеров; скажем,
3/5-4/7=(21-20)/35,
2/3-3/5=(10-9)/15;
после пары-тройки таких вычитаний становится понятно, что в числителе должны всегда быть единицы...

И, конечно, это означает, что площадь соответствующих параллелограмов равна 1. И если поверить в предыдущий факт — что новоприходящая дробь это всегда медианта соседей — то это мгновенно доказывается по индукции. Ведь каждый из двух новопоявляющихся параллелограммов имеет такую же площадь:

Собственно, вывод в другую сторону (что до медианты, с меньшим, чем b+d, знаменаетелем, ничего не появится) тоже мгновенный. Потому что если между a/b и c/d появляется e/f, то разности:
e/f-a/b не меньше 1/bf
c/d-e/f не меньше 1/df,
а в сумме не меньше
1/bf + 1/df = (b+d)/bdf.

Поскольку мы делили отрезок длины 1/bd — то f не меньше, чем b+d.

На самом деле, сумма двух выводов выше доказывает по индукции и то, и другое, но в этом проще убедиться самостоятельно.
С другой стороны — то, что в числителе разности всегда 1, можно увидеть из формулы Пика.

Ибо у треугольника с вершинами O=(0,0), A=(a,b), B=(c,d) других целых точек нет ни внутри (иначе бы a/b и c/d не были соседними в последовательности Фарея), ни на границе (по той же причине для стороны AB и потому что дроби несократимы для сторон OA и OB). А по формуле Пика его площадь — которая есть половина площади соответствующего параллелограмма — тогда равна
3/2 - 1 = 1/2.

Отсюда же, кстати, следует и теорема Дирихле о приближении — что для любого N любое вещественное число x можно приблизить дробью p/q, со знаменателем q, не большим N, так, чтобы
|x-p/q| < 1/Nq.

Действительно, пусть x на отрезке [0,1] (добавить целое число уж точно можно); рассмотрим последовательность Фарея порядка N и тот отрезок
c/d < x < a/b,
куда наше приближаемое число попало. Раз медианта e/f=(a+c)/(b+d) уже не вошла в последовательность Фарея, то у неё слишком большой знаменатель f=b+d>N. Подотрезки, на которые она делит наш отрезок, имеют длину 1/bf (со второй вершиной a/b) и 1/df (со второй вершиной c/d).
Соответственно, берём тот из них, куда попала наша точка x, и берём вторую вершину в качестве приближения. Победа!

Конечно же, эту теорему можно доказать и без этой науки, с помощью принципа Дирихле, рассмотрев точки 0,x,2x,...,Nx на окружности R/Z длины 1; две их них ближе, чем 1/N — а тогда их разность ближе, чем 1/N, к 0 на окружности R/Z, то есть |qx-p|<1/N для некоторого целого p.

(И конечно же, подходящие дроби появляются среди тех, которые будут ближайшими к x сверху и снизу в последовательностях Фарея разного порядка — а многогратная замена одной из них на медианту с другой это и есть описанный у Арнольда "алгоритм вытягивания носов".)

А последнее, что я тут хотел упомянуть — это кусочек истории. Фарей был английским геологом, и опубликовал это свойство таких последовательностей без доказательства в 1816 году в Philosophical Magazine —

Это письмо попало на глаза Коши, который обрадовался, немедленно всё доказал, и назвал такие последовательности дробей последовательностями Фарея.
Но ещё в 1802 году, за 14 лет до того, в Journal de l'École Polytechnique появилась статья Charles Haros:

Каковой Haros, увы, остался незаслуженно забыт.

Два связанных исторических вопроса, которые я люблю задавать, когда рассказываю про работу Haros:
1) Что стоит перед фамилией Haros?
2) Какой год стоит на титульном листе журнала, опубликованного в 1802 году?