Тут нарисован ответ на вопрос, как направлена мгновенная скорость попавшего в колесо камушка. Ну и если на этой картинке провести отрезок к точке касания (которая внизу), то как раз и получится опирающийся на (вертикальный) диаметр прямой угол — как и положено углу между вектором скорости и радиус-вектором из центра вращения.

Так вот — наши круги все (в каждый момент времени) касаются друг друга. Поэтому мгновенные скорости у них у всех в любой точке — в частности, в рисующей — сонаправлены (ибо все перпендикулярны радиус-вектору из точки касания).

И поэтому и у рисуемых кривых касательные идут в том же (одном и том же для всех) направлении — то есть они касаются.

Половина загадки разгадана; давайте теперь перейдём к вершинам. Достаточно разобраться, почему вершины предпоследней (синей) кривой едут по последней, неподвижной (фиолетовой). Потому что для движения, скажем, жёлтой дельтоиды по зелёной астроиде можно просто перейти в (движущуюся) систему отсчёта — сесть на зелёный круг. Там зелёный круг неподвижен, всё, что снаружи, можно выкинуть, а внутри мы видим такую же конфигурацию (окружности катятся с общей точкой касания).

Вершина на синей кривой появляется в тот момент, когда рисующая точка оказывается точкой касания (то есть когда она максимально-внешняя). И дальше эта синяя вершина едет вместе с синей окружностью — двигается по гипоциклоиде.

Но если внутри окружности радиуса R рисовать гипоциклоиду окружностью радиуса r1 — то получится то же самое, что если её рисовать окружностью r2=(R-r1), движущейся в другую сторону. Более того, если взять отношение угловых скоростей обратно пропорциональным отношению радиусов — то просто отмеченные точки на рисующих окружностях будут совпадать в каждый момент времени. И вот иллюстрация к этому (опять спасибо М. Панову!) —

Рисующая точка (красная) общая для двух окружностей: при таком отношении угловых скоростей радиус-вектор в точку одной окружности из её центра поворачивается так же, как и радиус-вектор в центр другой окружности из центра неподвижной. Вот у нас и получается параллелограмм.

Поэтому вершина на синей кривой (радиуса r2=nr) движется так же, как если бы она была отмечена на окружности радиуса r1=R-r2=(n+1)r-nr=r, катящейся в обратную сторону. А она и рисует нашу фиолетовую гипоциклоиду! И кстати, действительно видно, что синие вершины скользят по фиолетовой кривой в обратную сторону.

Вот мы и доказали, что вершины каждой гипоциклоиды скользят по следующей. В частности, прямой отрезок-диаметр (внутри окружности радиуса 2r) скользит по дельтоиде (внутри окружности радиуса 3r) — что мы, собственно, видели и на исходной картинке.
Вот если бы мне это просто сформулировали, как изолированный факт ("длина отрезка касательной к дельтоиде, содержащейся внутри неё, постоянна") — ой не сразу бы я в это поверил (и уж точно загрустил бы от одной мысли о доказательстве грубым счётом).

Ещё несколько красивых иллюстраций (и опять спасибо М. Панову!):
Одна и та же гипоциклоида, только уже "звёздчатая":

А вот — если мы достроим параллелограмм в другую сторону :

И цитата на эту тему из 7-й главы "Прямых и кривых" (http://zadachi.mccme.ru/prkr/ , которые выше уже упоминали) —

Ещё картинка на эту же тему — циклоидальная передача:

(а эта картинка из Википедии — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0 )

И в завершение — вот звёздчатая гипоциклоида с двойным параллелограммом (и двумя рисующими точками на одной из окружностей):