Вершина на синей кривой появляется в тот момент, когда рисующая точка оказывается точкой касания (то есть когда она максимально-внешняя). И дальше эта синяя вершина едет вместе с синей окружностью — двигается по гипоциклоиде.

Но если внутри окружности радиуса R рисовать гипоциклоиду окружностью радиуса r1 — то получится то же самое, что если её рисовать окружностью r2=(R-r1), движущейся в другую сторону. Более того, если взять отношение угловых скоростей обратно пропорциональным отношению радиусов — то просто отмеченные точки на рисующих окружностях будут совпадать в каждый момент времени. И вот иллюстрация к этому (опять спасибо М. Панову!) —

Рисующая точка (красная) общая для двух окружностей: при таком отношении угловых скоростей радиус-вектор в точку одной окружности из её центра поворачивается так же, как и радиус-вектор в центр другой окружности из центра неподвижной. Вот у нас и получается параллелограмм.

Поэтому вершина на синей кривой (радиуса r2=nr) движется так же, как если бы она была отмечена на окружности радиуса r1=R-r2=(n+1)r-nr=r, катящейся в обратную сторону. А она и рисует нашу фиолетовую гипоциклоиду! И кстати, действительно видно, что синие вершины скользят по фиолетовой кривой в обратную сторону.

Вот мы и доказали, что вершины каждой гипоциклоиды скользят по следующей. В частности, прямой отрезок-диаметр (внутри окружности радиуса 2r) скользит по дельтоиде (внутри окружности радиуса 3r) — что мы, собственно, видели и на исходной картинке.
Вот если бы мне это просто сформулировали, как изолированный факт ("длина отрезка касательной к дельтоиде, содержащейся внутри неё, постоянна") — ой не сразу бы я в это поверил (и уж точно загрустил бы от одной мысли о доказательстве грубым счётом).

Ещё несколько красивых иллюстраций (и опять спасибо М. Панову!):
Одна и та же гипоциклоида, только уже "звёздчатая":

А вот — если мы достроим параллелограмм в другую сторону :

И цитата на эту тему из 7-й главы "Прямых и кривых" (http://zadachi.mccme.ru/prkr/ , которые выше уже упоминали) —

Ещё картинка на эту же тему — циклоидальная передача:

(а эта картинка из Википедии — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0 )

И в завершение — вот звёздчатая гипоциклоида с двойным параллелограммом (и двумя рисующими точками на одной из окружностей):

Красивое перекладывание:
https://twitter.com/74WTungsteno/status/1265613949485096961/photo/1

Давайте я попробую немного рассказать о комплексной динамике — о том, что и почему мы на этих анимациях видим.
Да — я буду пользоваться двумя генераторами фракталов. Во-первых, у Элементов.ру есть совершенно классная серия интерактивных плакатов, https://elementy.ru/posters/ , — и один из них посвящён как раз фракталам; и там можно одновременно смотреть на точку множества Мандельброта и на соответствующее ей множество Жюлиа — https://elementy.ru/posters/fractals/Julia .
Увы, эти плакаты на флеше, который не все современные браузеры любят. :(
А во-вторых, вот этим генератором — http://usefuljs.net/fractals/ .

Итак, главные герои. Формальные определения такие: пусть задано отображение z->P(z), например, вида z^2+c.
Тогда для любой начальной точки z_0 можно рассмотреть последовательность её итераций — применяя P снова и снова: z_n = P(z_{n-1}).
Так вот, заполненным множеством Жюлиа полинома P называется множество точек z_0, итерации которых не убегают на бесконечность.
(Определение выше общее — но сейчас я его собираюсь применять только к квадратичным отображениям, z->z^2+c.)

А множеством Мандельброта называется множество таких параметров c, что у отображения
P_c (z) = z^2+c
не убегают на бесконечность итерации начальной точки 0.