Вот мы и доказали, что вершины каждой гипоциклоиды скользят по следующей. В частности, прямой отрезок-диаметр (внутри окружности радиуса 2r) скользит по дельтоиде (внутри окружности радиуса 3r) — что мы, собственно, видели и на исходной картинке.
Вот если бы мне это просто сформулировали, как изолированный факт ("длина отрезка касательной к дельтоиде, содержащейся внутри неё, постоянна") — ой не сразу бы я в это поверил (и уж точно загрустил бы от одной мысли о доказательстве грубым счётом).

Ещё несколько красивых иллюстраций (и опять спасибо М. Панову!):
Одна и та же гипоциклоида, только уже "звёздчатая":

А вот — если мы достроим параллелограмм в другую сторону :

И цитата на эту тему из 7-й главы "Прямых и кривых" (http://zadachi.mccme.ru/prkr/ , которые выше уже упоминали) —

Ещё картинка на эту же тему — циклоидальная передача:

(а эта картинка из Википедии — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0 )

И в завершение — вот звёздчатая гипоциклоида с двойным параллелограммом (и двумя рисующими точками на одной из окружностей):

Красивое перекладывание:
https://twitter.com/74WTungsteno/status/1265613949485096961/photo/1

Давайте я попробую немного рассказать о комплексной динамике — о том, что и почему мы на этих анимациях видим.
Да — я буду пользоваться двумя генераторами фракталов. Во-первых, у Элементов.ру есть совершенно классная серия интерактивных плакатов, https://elementy.ru/posters/ , — и один из них посвящён как раз фракталам; и там можно одновременно смотреть на точку множества Мандельброта и на соответствующее ей множество Жюлиа — https://elementy.ru/posters/fractals/Julia .
Увы, эти плакаты на флеше, который не все современные браузеры любят. :(
А во-вторых, вот этим генератором — http://usefuljs.net/fractals/ .

Итак, главные герои. Формальные определения такие: пусть задано отображение z->P(z), например, вида z^2+c.
Тогда для любой начальной точки z_0 можно рассмотреть последовательность её итераций — применяя P снова и снова: z_n = P(z_{n-1}).
Так вот, заполненным множеством Жюлиа полинома P называется множество точек z_0, итерации которых не убегают на бесконечность.
(Определение выше общее — но сейчас я его собираюсь применять только к квадратичным отображениям, z->z^2+c.)

А множеством Мандельброта называется множество таких параметров c, что у отображения
P_c (z) = z^2+c
не убегают на бесконечность итерации начальной точки 0.

Определение заполненного множества Жюлиа похоже на другие определения фракталов: что-то куда-то итерируется. И из-за итераций естественно ожидать какого-то самоподобия.
А вот определение множества Мандельброта кажется странным: почему речь идёт об итерациях именно точки z=0? И из него совсем не видно, почему должен получаться фрактал.

Так вот, давайте на всё это посмотрим и с этим разберёмся. Начнём со случая c=0. Тогда мы итерируем
P_0(z)=z^2,
и его итерации достаточно просто описать. А именно, n-я итерация это z^{2^n}, поэтому:
*) точки z с |z|>1 убегают на бесконечность,
*) точки с |z|<1 падают в ноль,
*) а |z|=1 — окружность, остающаяся на месте, и на которой аргумент (из-за возведения в квадрат) за одну итерацию P_0 удваивается.

В частности, заполненное множество Жюлиа — диск |z|<=1:

Слева на этой картинке (с Элементов) множество Мандельброта, с отмеченной (белой) точкой c=0, а справа — соответствующее множество Жюлиа.

А что будет, если мы возьмём параметр c явно за пределами множества Мандельброта — например, c=5?