И говоря о том, близко точки или далеко, будем иметь в виду расстояние на сфере — то есть 1000 и 10000 не очень-очень далеко, а напротив, очень близко друг к другу — и к бесконечности.

И скажем, что у точки z_0 орбита неустойчива по Ляпунову, если для некоторого ε>0 сколь угодно близко к z_0 есть точки, образы которых когда-нибудь удаляются (на сфере Римана) от образов z хотя бы на ε.
Ну и если это записать совсем формально, то получится

Так вот — множество Жюлиа это множество точек, орбиты которых неустойчивы по Ляпунову.

И в случае полиномиального отображения, как оказывается (но что неочевидно), это — как раз граница заполненного множества Жюлиа. И наоборот, заполненное множество Жюлиа это просто множество Жюлиа плюс всё, что оно ограничивает.

То, что граница заполненного множества Жюлиа будет состоять только из точек с неустойчивой орбитой, понять легко — действительно, это точки, образы которых остаются ограниченными, но сколь угодно близко к которым (по определению границы — пересечение замыканий множества и дополнения) есть точки, на бесконечность убегающие. Вот и неустойчивость.

Вот вложение в другую сторону неочевидно. На самом деле, верно даже более сильное утверждение: множество Жюлиа является границей области притяжения любой притягивающей орбиты:

(Это — кусочек из замечательной книги Дж. Милнора, "Голоморфная динамика", которую я очень рекомендую).

Так что, если срочно нужно привести пример трёх (четырёх, пяти, ...) открытых множеств на плоскости с совпадающей границей, то можно сделать так. Взять отображение, у которого сколько нужно притягивающих орбит — например, взяв полиномиальное отображение
z-> z- 0.000001 (z-1)(z-2)...(z-5)
(неподвижные точки z=1,3 и 5 будут притягивающими — производная в них будет чуть меньше 1),
или, скажем, применив метод Ньютона к нахождению корней многочлена нужной степени (правда, тут получится уже рациональное отображение).

И взяв бассейны притяжения этих притягивающих орбит — границей каждого из этих бассейнов притяжения будет (одно и то же!) множество Жюлиа.

Правда, если привести такой пример на экзамене, то могут попросить доказать все предыдущие утверждения... Но красиво ведь!

(Да, на всякий случай — примеры проще есть, и они строятся совсем "руками")

Это — три бассейна притяжения для метода Ньютона, применённого к кубическому многочлену; картинку я взял из статьи Дирка Шляйхера "Complex Dynamics, the Mandelbrot Set, and Newton’s Method — or: On Useless and Useful Mathematics" из сборника "An Invitation to Mathematics".

А вот (из его же статьи с R. Stoll-ом — https://arxiv.org/pdf/1508.02935.pdf ) — картинка для областей притяжения у корней многочлена 12-й степени:

Кстати — комплексно-дифференцируемое отображение (по определению) "под большим увеличением" рядом с точкой похоже на свою линейную часть в этой точке (по крайней мере, когда производная не обращается в ноль). А умножение на комплексное число это поворотная гомотетия.

а) (оффтопик, но раз уж подвернулась возможность) Именно это — что производная это умножение на комплексное число — и говорится в условиях Коши-Римана — что нужно добавить к вещественной дифференцируемости, чтобы получилась комплексная.
б) (почти не оффтопик) именно поэтому там, где производная не обращается в ноль, комплексно-дифференцируемые функции конформны: у маленькой-маленькой фигуры они могут изменить размер, но почти не искажают форму

Вот, кстати, иллюстрация из всё того же фильма Dimensions (https://youtu.be/bY4DS1RwwAE?t=306 ), где авторы взяли фотографию замечательного математика Адриана Дуади — и применили к ней рациональную функцию:

Видно, что хоть глобально картинка и исказилась —рука и стала больше головы — у каждого маленького кусочка пропорции не поменялись (если закрыть всё, кроме руки, или всё, кроме головы, то они по отдельности выглядят вполне нормально — а не, скажем, вытянутыми в два раза в какую-нибудь сторону).

Так вот — а то, к чему я всё это упоминал, это
в) а что будет происходить рядом с точкой множества Жюлиа?