Иными словами — "толстую" версию кролика Дуади:

А после пересечения главной кардиоиды мы попадаем в гиперболическую компоненту, где притягивающая орбита имеет период 3; её "центр" — параметр, при котором критическая точка 0 оказывается периодичной — и соответствует тому самому кролику, которого мы видели раньше.

То же самое происходит, если мы посмотрим на отображение
f : w-> λw + w^2,
где λ=exp(2πi p/q) — корень q-й степени из единицы. Если посмотреть на
f^q(w)=w+ A w^m+...,
то первой выжившей степенью будет m=q+1-я — по тем же причинам, что f и f^q должны коммутировать:

и раз одно равно другому, то λ^m=λ, то есть m=kq+1.
(Я не проверил, что собственно q+1-я степень действительно выживает — заметём это под ковёр.)

Да — давайте я покажу тут пару картинок из записок мини-курса Arnaud Cheritat,
http://num.math.uni-goettingen.de/~summer/cheritat.pdf .
Во-первых, просто картинка лепестков — показывающая, как устроена динамика f^q рядом с параболической точкой:

И во-вторых, кусочек, на котором лепестки расширяются до перекрытия —

Верхняя картинка тут как раз напоминает "толстого кролика".

Итак, для λ=exp(2πi p/q) получаются q переставляющихся динамикой притягивающихся лепестков — а пересекая кардиоиду, мы попадаем в соответствующую гиперболическую компоненту. В частности, трёхухого кролика-мутанта мы видим, пересекая кардиоиду в точке с λ=i : четыре лепестка соответствуют телу и трём ушам.
Иными словами, это та компонента, куда мы переходим через
c=i/2-(i/2)^2=1/4+i/2.
(Сама эта точка соответствует "толстому" кролику, а обычно берут "центр" соответствующей компоненты — где точка 0 оказывается периодической.)

Вот тут я специально ввёл точные координаты вручную (а не ткнул мышкой) —

Вот (взятая из Википедии) картинка гиперболических компонент — на которой подписаны соответствующие периоды:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_Set_–_Periodicities_coloured.png

Итак, что происходит на главной кардиоиде в точке, соответствующей λ=exp(2πi p/q), мы разобрались.
А что будет, если взять λ, не являющееся корнем из 1:
λ=exp(2πi r), где r — иррациональное число?

Оказывается, что если r "плохо приближается рациональными числами", то итерации f "усредняются" и приводят к тому, что точки не сближаются и не удаляются.

Более точно — если r иррациональное, то можно написать "ряд замены"
h(w)=w+c_2 w^2+ c_3 w^3+...,
такой, что
h(f(w))=λ h(w) —
иными словами, такой, что в координате z=h(w) отображение f становится просто умножением на λ.

И пишется такой ряд просто по индукции — причём на очередном шаге, убирая коэффициент при w^{m+1}, приходится делить на (λ^m-1).

Так что если r плохо приближается рациональными числами — то есть если степени λ^m не слишком близко (ну, насколько возможно) попадают к 1 — то есть надежда, что такой формальный ряд действительно сойдётся.
Что правда — только за этим довольно много всего стоит, включая дорогу, ведущую к КАМ-теории — теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.
(А также слова "малые знаменатели", про которые теперь понятно, на что они намекают; для каких-то степеней всё-таки придётся делить на что-то маленькое, потому что все степени λ^m далеко от 1 быть не могут.)

Кстати —
В. И. Арнольд, "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике", УМН, 1963, http://mi.mathnet.ru/umn6441