С.Грибок. Мудрецы, колпаки и арифметика конечных полей (Квант-2019-04)

в отличие от видео 3b1b, в этой статье никаких монет на шахматной доске нет… казалось бы

https://youtu.be/laAtv310pyk

видимо что-то такое в воздухе сейчас — Numberphile сегодня тоже про мудрецов в колпаках

Давайте я договорю про периодические компоненты рядом с главной кардиоидой. Вот мы посмотрели на то, что происходит, когда мы пересекаем её в точке с мультипликатором (-1) — рождается притягивающая периодическая орбита периода 2, а в момент пересечения квадрат отображения имеет вид
z -> z + Az^3 + ...;
у этой параболической точки два притягивающих (и два отталкивающих) лепестка Фату (собственно, f в каждой паре лепестки переставляет — на то у него и мультипликатор (-1)).

А что происходит, если мультипликатор будет не (-1), а корнем кубическим из 1, если мы будем итерировать отображение
f : w-> λw + w^2,
где λ=exp(2πi/3) ?

Или, как мы уже научились пересчитывать,
z->z^2+c,
где с=(λ/2)-(λ/2)^2 ?

Посмотрим теперь на отображение w->f^3(w). Ноль всё ещё неподвижная точка, и производная в нём (она же коэффициент при w) равна λ^3=1.
Если раскрыть скобки, то можно увидеть, что члены с w^2 и даже с w^3 сократятся. Это можно увидеть прямым вычислением — но правильнее всего заметить, что f и f^3 коммутируют, и w^4 — первая степень, ненулевой коэффициент при которой этому не противоречит. Поэтому
f^3(w) = w + A w^4 + ...,
и мы получаем параболическую точку с тремя притягивающими лепестками — которые f^3 сохраняет, а f переставляет по циклу.

Иными словами — "толстую" версию кролика Дуади:

А после пересечения главной кардиоиды мы попадаем в гиперболическую компоненту, где притягивающая орбита имеет период 3; её "центр" — параметр, при котором критическая точка 0 оказывается периодичной — и соответствует тому самому кролику, которого мы видели раньше.

То же самое происходит, если мы посмотрим на отображение
f : w-> λw + w^2,
где λ=exp(2πi p/q) — корень q-й степени из единицы. Если посмотреть на
f^q(w)=w+ A w^m+...,
то первой выжившей степенью будет m=q+1-я — по тем же причинам, что f и f^q должны коммутировать:

и раз одно равно другому, то λ^m=λ, то есть m=kq+1.
(Я не проверил, что собственно q+1-я степень действительно выживает — заметём это под ковёр.)

Да — давайте я покажу тут пару картинок из записок мини-курса Arnaud Cheritat,
http://num.math.uni-goettingen.de/~summer/cheritat.pdf .
Во-первых, просто картинка лепестков — показывающая, как устроена динамика f^q рядом с параболической точкой:

И во-вторых, кусочек, на котором лепестки расширяются до перекрытия —

Верхняя картинка тут как раз напоминает "толстого кролика".

Итак, для λ=exp(2πi p/q) получаются q переставляющихся динамикой притягивающихся лепестков — а пересекая кардиоиду, мы попадаем в соответствующую гиперболическую компоненту. В частности, трёхухого кролика-мутанта мы видим, пересекая кардиоиду в точке с λ=i : четыре лепестка соответствуют телу и трём ушам.
Иными словами, это та компонента, куда мы переходим через
c=i/2-(i/2)^2=1/4+i/2.
(Сама эта точка соответствует "толстому" кролику, а обычно берут "центр" соответствующей компоненты — где точка 0 оказывается периодической.)

Вот тут я специально ввёл точные координаты вручную (а не ткнул мышкой) —

Вот (взятая из Википедии) картинка гиперболических компонент — на которой подписаны соответствующие периоды:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_Set_–_Periodicities_coloured.png

Итак, что происходит на главной кардиоиде в точке, соответствующей λ=exp(2πi p/q), мы разобрались.
А что будет, если взять λ, не являющееся корнем из 1:
λ=exp(2πi r), где r — иррациональное число?