Опять же, длины отрезков параметров, при которых система выходит на орбиту периода 2^n, "учащаются" в геометрической прогрессии:

Так вот — константа δ тут та же самая, хотя семейство совершенно другое (одно полиномиальное, другое трансцендентное). И это явление называется универсальностью Фейгенбаума-Куле-Трессера.

Во-вторых: можно начать увеличивать картинку множества Мандельброта вокруг той точки c_*, куда накапливаются бифуркации удвоения периода.

(каждая следующая картинка — увеличенная примерно в те самые 4.6 раз, это вовсе не одна и та же картинка — что можно увидеть по тому, что меняются цвета)

Соответственно, второй вопрос — а почему картинки так похожи? Ведь итерировать параметр c, казалось бы, нельзя...

И ответом на оба эти вопроса является ренормализация.

Вообще, ренормализация — ситуация, когда мы сводим задачу из некоторого класса к другой задаче из того же класса. Казалось бы, мы на этом ничего не выигрываем (обычно, как исходная задача не решалась, так и новая не решается) — зато вот итерируя такие сведения, результаты добыть получается.

Давайте пока посмотрим на вещественную картину; пусть у нас есть "одношапочное" отображение —

Если "шапочка" не слишком плоская, то у него будет неподвижная точка с отрицательным мультипликатором. Давайте возведём его в квадрат — тогда одна итерация нового отображения соответствует двум итерациям старого:

Но у нового отображения можно (если "шапочка" была не слишком "высокая") найти сохраняющийся подотрезок: