(каждая следующая картинка — увеличенная примерно в те самые 4.6 раз, это вовсе не одна и та же картинка — что можно увидеть по тому, что меняются цвета)

Соответственно, второй вопрос — а почему картинки так похожи? Ведь итерировать параметр c, казалось бы, нельзя...

И ответом на оба эти вопроса является ренормализация.

Вообще, ренормализация — ситуация, когда мы сводим задачу из некоторого класса к другой задаче из того же класса. Казалось бы, мы на этом ничего не выигрываем (обычно, как исходная задача не решалась, так и новая не решается) — зато вот итерируя такие сведения, результаты добыть получается.

Давайте пока посмотрим на вещественную картину; пусть у нас есть "одношапочное" отображение —

Если "шапочка" не слишком плоская, то у него будет неподвижная точка с отрицательным мультипликатором. Давайте возведём его в квадрат — тогда одна итерация нового отображения соответствует двум итерациям старого:

Но у нового отображения можно (если "шапочка" была не слишком "высокая") найти сохраняющийся подотрезок:

И на нём отображение опять унимодальное — растянув отрезок обратно на [0,1], мы получаем отображение того же класса:

Вот так работает отображение ренормализации. Оно определено не всегда: если шапочка была слишком плоской, то мультипликатор в неподвижной точке будет положительным, а если слишком высокой, то посередине отображение f^2 вылезет за красный отрезок.

Но — это уже конкретное отображение, пусть и определённое на бесконечномерном пространстве всех унимодальных отображений (ну, или всех с неравенством на производную Шварца — давайте детали я замету под ковёр).

И его можно исследовать. Так вот — картинка с каскадом бифуркаций удвоения периода в его терминах проговаривается: ведь f будет точкой, где происходит бифуркация от орбиты периода 2^n к орбите периода 2^{n+1} тогда и только тогда, когда R^n(f) будет точкой, где происходит простейшее удвоение периода от неподвижной точки к орбите периода 2.

Оказывается, что у него есть неподвижная точка. И эта точка гиперболическая: если в ней R линеаризовать, то все собственные значения, кроме одного, будут по модулю меньше 1 — что будет соответствовать сжатию; а одно будет больше 1.

Поэтому есть подмногообразие коразмерности 1, по которому происходит приближение к этой неподвижной точке — и её "неустойчивая сепаратриса":

Соответственно, если мы нарисуем на этой картинке однопараметрическое семейство отображений (логистическое, или \mu \sin(πx), или ещё какое-нибудь), то предельной точкой каскада бифуркаций удвоения будет момент, когда это семейство пересечёт то самое устойчивое подмногообразие: