Но у нового отображения можно (если "шапочка" была не слишком "высокая") найти сохраняющийся подотрезок:

И на нём отображение опять унимодальное — растянув отрезок обратно на [0,1], мы получаем отображение того же класса:

Вот так работает отображение ренормализации. Оно определено не всегда: если шапочка была слишком плоской, то мультипликатор в неподвижной точке будет положительным, а если слишком высокой, то посередине отображение f^2 вылезет за красный отрезок.

Но — это уже конкретное отображение, пусть и определённое на бесконечномерном пространстве всех унимодальных отображений (ну, или всех с неравенством на производную Шварца — давайте детали я замету под ковёр).

И его можно исследовать. Так вот — картинка с каскадом бифуркаций удвоения периода в его терминах проговаривается: ведь f будет точкой, где происходит бифуркация от орбиты периода 2^n к орбите периода 2^{n+1} тогда и только тогда, когда R^n(f) будет точкой, где происходит простейшее удвоение периода от неподвижной точки к орбите периода 2.

Оказывается, что у него есть неподвижная точка. И эта точка гиперболическая: если в ней R линеаризовать, то все собственные значения, кроме одного, будут по модулю меньше 1 — что будет соответствовать сжатию; а одно будет больше 1.

Поэтому есть подмногообразие коразмерности 1, по которому происходит приближение к этой неподвижной точке — и её "неустойчивая сепаратриса":

Соответственно, если мы нарисуем на этой картинке однопараметрическое семейство отображений (логистическое, или \mu \sin(πx), или ещё какое-нибудь), то предельной точкой каскада бифуркаций удвоения будет момент, когда это семейство пересечёт то самое устойчивое подмногообразие:

Когда мы будем его ренормализовывать — сама точка пересечения будет приближаться к неподвижной, а семейство растягиваться в "вертикальном" направлении, и будет становиться всё ближе к неустойчивой сепаратрисе:

И отсюда следует ответ про универсальность — а заодно объяснение того, что же такое за постоянная Фейгенбаума δ. Все семейства, трансверсально ("под ненулевым углом") пересекающие устойчивое многообразие, последовательность ренормализаций делает всё ближе и ближе к неустойчивой сепаратрисе — на которой рядом с неподвижной точкой происходит растяжение в число раз, равное (при правильном выборе координат) соответствующему собственному значению. Вот это и есть асимптотический знаменатель "учащения бифуркаций" — δ это просто неустойчивое собственное значение R!

Давайте я добавлю к этому картинку из слайдов Шишикуры (https://www.math.univ-toulouse.fr/adrien2008/Slides/Shishikura.pdf ) —

И скажу, что ренормализация не обязательно должна происходить за две итерации. Может быть, интервал, на который мы захотим вернуться, возвращается на себя за три итерации. А может быть, за 5...
А ещё можно объединить все эти отображения ренормализации (R_2, R_3, ...) — и получить "подкову ренормализации" (renormalization horseshoe)

Подкову — именно в смысле "подковы Смейла".

Да — коллеги тут мне говорят, что от условия про отрицательную производную Шварца давно уже как избавились, и это работа О. Козловского в Annals, "Getting rid of the negative Schwarzian derivative condition":
https://www.emis.de/journals/Annals/152_3/kozlovsk.pdf

Давайте я ещё порекламирую статью М. Любича в Notices AMS, "The Quadratic Family as a Qualitatively Solvable Model of Chaos" —
https://www.ams.org/journals/notices/200009/fea-lyubich.pdf