Соответственно, если мы нарисуем на этой картинке однопараметрическое семейство отображений (логистическое, или \mu \sin(πx), или ещё какое-нибудь), то предельной точкой каскада бифуркаций удвоения будет момент, когда это семейство пересечёт то самое устойчивое подмногообразие:

Когда мы будем его ренормализовывать — сама точка пересечения будет приближаться к неподвижной, а семейство растягиваться в "вертикальном" направлении, и будет становиться всё ближе к неустойчивой сепаратрисе:

И отсюда следует ответ про универсальность — а заодно объяснение того, что же такое за постоянная Фейгенбаума δ. Все семейства, трансверсально ("под ненулевым углом") пересекающие устойчивое многообразие, последовательность ренормализаций делает всё ближе и ближе к неустойчивой сепаратрисе — на которой рядом с неподвижной точкой происходит растяжение в число раз, равное (при правильном выборе координат) соответствующему собственному значению. Вот это и есть асимптотический знаменатель "учащения бифуркаций" — δ это просто неустойчивое собственное значение R!

Давайте я добавлю к этому картинку из слайдов Шишикуры (https://www.math.univ-toulouse.fr/adrien2008/Slides/Shishikura.pdf ) —

И скажу, что ренормализация не обязательно должна происходить за две итерации. Может быть, интервал, на который мы захотим вернуться, возвращается на себя за три итерации. А может быть, за 5...
А ещё можно объединить все эти отображения ренормализации (R_2, R_3, ...) — и получить "подкову ренормализации" (renormalization horseshoe)

Подкову — именно в смысле "подковы Смейла".

Да — коллеги тут мне говорят, что от условия про отрицательную производную Шварца давно уже как избавились, и это работа О. Козловского в Annals, "Getting rid of the negative Schwarzian derivative condition":
https://www.emis.de/journals/Annals/152_3/kozlovsk.pdf

Давайте я ещё порекламирую статью М. Любича в Notices AMS, "The Quadratic Family as a Qualitatively Solvable Model of Chaos" —
https://www.ams.org/journals/notices/200009/fea-lyubich.pdf

Рисунок 8 оттуда нам уже знаком:

А вот другая статья М. Любича, Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor’s Hairiness Conjecture, Annals of Mathematics, 1999 : https://www.emis.de/journals/Annals/149_2/lyubich.pdf

Первая часть названия понятна; а вот о чём говорит вторая:

Мы видели на картинках выше, что множество Мандельброта под увеличением действительно становится всё более "волосатым". А вот тут эти картинки свели в одну анимированную гифку:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zoom_About_Feigenbaum_Point_In_The_Mandelbrot_Set_Showing_Hairiness.gif

Выглядит, как типичная картинка из компьютерной игры, когда надо показать, что "тьма спустилась на мир".

Чтобы закончить с логистическим отображением — мы пока обсуждали устойчивые периодические орбиты. Но предельным режимом бывают не только они.