И скажу, что ренормализация не обязательно должна происходить за две итерации. Может быть, интервал, на который мы захотим вернуться, возвращается на себя за три итерации. А может быть, за 5...
А ещё можно объединить все эти отображения ренормализации (R_2, R_3, ...) — и получить "подкову ренормализации" (renormalization horseshoe)

Подкову — именно в смысле "подковы Смейла".

Да — коллеги тут мне говорят, что от условия про отрицательную производную Шварца давно уже как избавились, и это работа О. Козловского в Annals, "Getting rid of the negative Schwarzian derivative condition":
https://www.emis.de/journals/Annals/152_3/kozlovsk.pdf

Давайте я ещё порекламирую статью М. Любича в Notices AMS, "The Quadratic Family as a Qualitatively Solvable Model of Chaos" —
https://www.ams.org/journals/notices/200009/fea-lyubich.pdf

Рисунок 8 оттуда нам уже знаком:

А вот другая статья М. Любича, Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor’s Hairiness Conjecture, Annals of Mathematics, 1999 : https://www.emis.de/journals/Annals/149_2/lyubich.pdf

Первая часть названия понятна; а вот о чём говорит вторая:

Мы видели на картинках выше, что множество Мандельброта под увеличением действительно становится всё более "волосатым". А вот тут эти картинки свели в одну анимированную гифку:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zoom_About_Feigenbaum_Point_In_The_Mandelbrot_Set_Showing_Hairiness.gif

Выглядит, как типичная картинка из компьютерной игры, когда надо показать, что "тьма спустилась на мир".

Чтобы закончить с логистическим отображением — мы пока обсуждали устойчивые периодические орбиты. Но предельным режимом бывают не только они.

Так, если взять максимально возможное значение \lambda=4, то получается многочлен, отличающийся от многочлена Чебышева заменой координат. Если
T_2(y)=2y^2 -1
переводит cos(a) в cos(2a), то замена x=(1-y)/2 превращает его итерации в итерации
f(x)=4x(1-x).
Ну или можно было сразу сказать, что
4x(1-x)
переводит sin^2(b) в sin^2(2b).

Так или иначе — итерации при \lambda=4 получаются из "удвоения угла" на окружности a->2a. Его динамика хаотична — а типичная орбита оказывается распределена в соответствии с мерой, которая в b-координате является мерой Лебега, а в x-координате — её образом при проекции
b->sin^2 b =x
(соответственно, будет абсолютно непрерывной )

В видео Veritasium, которое я уже цитировал, автор упоминает про генератор псевдослучайных чисел —
https://youtu.be/ovJcsL7vyrk?t=322

Может быть, это связано как раз с этим; кстати — после этого рассказа видео должно быть совсем легко смотреть.

Так вот — хаотическое поведение это вовсе не изолированный случай \lambda=4. Напротив того, параметры \lambda, при которых образуется такое "хаотическое" поведение, образуют множество положительной меры.

И это довольно интересно: ведь параметры, при которых происходит "сваливание в периодическую орбиту", образуют открытое плотное множество. То есть где угодно на отрезке параметров есть маленький интервал, отвечающий тому, что всё стремится к какой-то притягивающей периодической орбите.
(Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)

Так вот — несмотря на то, что множество гиперболических (всё стремится к устойчивой периодической орбите) параметров открытое и плотное, после того, как все эти интервалы выкинуты, ещё что-то остаётся!

Зато в объединении — "гиперболические" и "хаотические" параметры уже покрывают почти весь отрезок (с точностью до меры 0).