Мы видели на картинках выше, что множество Мандельброта под увеличением действительно становится всё более "волосатым". А вот тут эти картинки свели в одну анимированную гифку:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zoom_About_Feigenbaum_Point_In_The_Mandelbrot_Set_Showing_Hairiness.gif

Выглядит, как типичная картинка из компьютерной игры, когда надо показать, что "тьма спустилась на мир".

Чтобы закончить с логистическим отображением — мы пока обсуждали устойчивые периодические орбиты. Но предельным режимом бывают не только они.

Так, если взять максимально возможное значение \lambda=4, то получается многочлен, отличающийся от многочлена Чебышева заменой координат. Если
T_2(y)=2y^2 -1
переводит cos(a) в cos(2a), то замена x=(1-y)/2 превращает его итерации в итерации
f(x)=4x(1-x).
Ну или можно было сразу сказать, что
4x(1-x)
переводит sin^2(b) в sin^2(2b).

Так или иначе — итерации при \lambda=4 получаются из "удвоения угла" на окружности a->2a. Его динамика хаотична — а типичная орбита оказывается распределена в соответствии с мерой, которая в b-координате является мерой Лебега, а в x-координате — её образом при проекции
b->sin^2 b =x
(соответственно, будет абсолютно непрерывной )

В видео Veritasium, которое я уже цитировал, автор упоминает про генератор псевдослучайных чисел —
https://youtu.be/ovJcsL7vyrk?t=322

Может быть, это связано как раз с этим; кстати — после этого рассказа видео должно быть совсем легко смотреть.

Так вот — хаотическое поведение это вовсе не изолированный случай \lambda=4. Напротив того, параметры \lambda, при которых образуется такое "хаотическое" поведение, образуют множество положительной меры.

И это довольно интересно: ведь параметры, при которых происходит "сваливание в периодическую орбиту", образуют открытое плотное множество. То есть где угодно на отрезке параметров есть маленький интервал, отвечающий тому, что всё стремится к какой-то притягивающей периодической орбите.
(Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)

Так вот — несмотря на то, что множество гиперболических (всё стремится к устойчивой периодической орбите) параметров открытое и плотное, после того, как все эти интервалы выкинуты, ещё что-то остаётся!

Зато в объединении — "гиперболические" и "хаотические" параметры уже покрывают почти весь отрезок (с точностью до меры 0).

Я процитирую слайд из другого доклада Шишикуры (https://www.impan.pl/konferencje/bcc/2018/18-juliasets/shishikura-bedlewo-juliasets.pdf ) —

И на этом, наверное, этот рассказ можно завершить.

видеозапись: https://youtu.be/xRRNCuxLEyQ

В лекции Гаянэ Паниной упоминалась кривая Веронезе — кривая в R^n, задаваемая параметрически как
(t,t^2,t^3,...,t^n).
Я в первый раз о ней узнал на одном из курсов в Независимом — где с её помощью строился совершенно прекрасный пример.

Вот на плоскости, если у выпуклого многоугольника любые две вершины соединены ребром, то это треугольник.
В пространстве, если у выпуклого (неплоского) многогранника любые две вершины соединены ребром — то это тетраэдр. (И это, кстати, уже не совсем тривиально!)
А что будет в старших размерностях?

Так вот — уже в размерности 4 можно предъявить выпуклый многогранник с любым числом вершин, такой, что любые две соединены ребром.

А именно — давайте возьмём любые n точек на кривой Веронезе в R^4, отвечающие параметрам t_1,t_2,...,t_n.

Их выпуклая оболочка и будет искомым многогранником. Действительно: посмотрим на многочлен
P(t) = (t-t_i)^2 (t-t_j)^2.
Если в нём раскрыть скобки, то получится линейная комбинация 1, t ,..., t^4:
P(t)=a_0+a_1 t +...+a_4 t^4.
Превратим её в линейную функцию:
L(x_1,...,x_4)=a_0+a_1 x_1+...+a_4 x_4.
Эта функция равна 0 в вершинах с t=t_i и t=t_j, и положительна во всех остальных. Значит, эти две вершины лежат на гиперплоскости L=0, а все остальные — вне неё в одном и том же полупространстве L>0.