Так или иначе — итерации при \lambda=4 получаются из "удвоения угла" на окружности a->2a. Его динамика хаотична — а типичная орбита оказывается распределена в соответствии с мерой, которая в b-координате является мерой Лебега, а в x-координате — её образом при проекции
b->sin^2 b =x
(соответственно, будет абсолютно непрерывной )
b->sin^2 b =x
(соответственно, будет абсолютно непрерывной )
В видео Veritasium, которое я уже цитировал, автор упоминает про генератор псевдослучайных чисел —
https://youtu.be/ovJcsL7vyrk?t=322
https://youtu.be/ovJcsL7vyrk?t=322
YouTube
This equation will change how you see the world (the logistic map)
The logistic map connects fluid convection, neuron firing, the Mandelbrot set and so much more. Fasthosts Techie Test competition is now closed! Learn more about Fasthosts here: https://www.fasthosts.co.uk/veritasium Code for interactives is available below...…
Может быть, это связано как раз с этим; кстати — после этого рассказа видео должно быть совсем легко смотреть.
Так вот — хаотическое поведение это вовсе не изолированный случай \lambda=4. Напротив того, параметры \lambda, при которых образуется такое "хаотическое" поведение, образуют множество положительной меры.
И это довольно интересно: ведь параметры, при которых происходит "сваливание в периодическую орбиту", образуют открытое плотное множество. То есть где угодно на отрезке параметров есть маленький интервал, отвечающий тому, что всё стремится к какой-то притягивающей периодической орбите.
(Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)
(Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)
Так вот — несмотря на то, что множество гиперболических (всё стремится к устойчивой периодической орбите) параметров открытое и плотное, после того, как все эти интервалы выкинуты, ещё что-то остаётся!
Зато в объединении — "гиперболические" и "хаотические" параметры уже покрывают почти весь отрезок (с точностью до меры 0).
Я процитирую слайд из другого доклада Шишикуры (https://www.impan.pl/konferencje/bcc/2018/18-juliasets/shishikura-bedlewo-juliasets.pdf ) —
В лекции Гаянэ Паниной упоминалась кривая Веронезе — кривая в R^n, задаваемая параметрически как
(t,t^2,t^3,...,t^n).
Я в первый раз о ней узнал на одном из курсов в Независимом — где с её помощью строился совершенно прекрасный пример.
Вот на плоскости, если у выпуклого многоугольника любые две вершины соединены ребром, то это треугольник.
В пространстве, если у выпуклого (неплоского) многогранника любые две вершины соединены ребром — то это тетраэдр. (И это, кстати, уже не совсем тривиально!)
А что будет в старших размерностях?
(t,t^2,t^3,...,t^n).
Я в первый раз о ней узнал на одном из курсов в Независимом — где с её помощью строился совершенно прекрасный пример.
Вот на плоскости, если у выпуклого многоугольника любые две вершины соединены ребром, то это треугольник.
В пространстве, если у выпуклого (неплоского) многогранника любые две вершины соединены ребром — то это тетраэдр. (И это, кстати, уже не совсем тривиально!)
А что будет в старших размерностях?
Так вот — уже в размерности 4 можно предъявить выпуклый многогранник с любым числом вершин, такой, что любые две соединены ребром.
А именно — давайте возьмём любые n точек на кривой Веронезе в R^4, отвечающие параметрам t_1,t_2,...,t_n.
Их выпуклая оболочка и будет искомым многогранником. Действительно: посмотрим на многочлен
P(t) = (t-t_i)^2 (t-t_j)^2.
Если в нём раскрыть скобки, то получится линейная комбинация 1, t ,..., t^4:
P(t)=a_0+a_1 t +...+a_4 t^4.
Превратим её в линейную функцию:
L(x_1,...,x_4)=a_0+a_1 x_1+...+a_4 x_4.
Эта функция равна 0 в вершинах с t=t_i и t=t_j, и положительна во всех остальных. Значит, эти две вершины лежат на гиперплоскости L=0, а все остальные — вне неё в одном и том же полупространстве L>0.
P(t) = (t-t_i)^2 (t-t_j)^2.
Если в нём раскрыть скобки, то получится линейная комбинация 1, t ,..., t^4:
P(t)=a_0+a_1 t +...+a_4 t^4.
Превратим её в линейную функцию:
L(x_1,...,x_4)=a_0+a_1 x_1+...+a_4 x_4.
Эта функция равна 0 в вершинах с t=t_i и t=t_j, и положительна во всех остальных. Значит, эти две вершины лежат на гиперплоскости L=0, а все остальные — вне неё в одном и том же полупространстве L>0.
И потому эти две вершины это действительно вершины выпуклой оболочки, причём соединённые ребром.
А начиная с размерности 6, точно так же можно построить выпуклый многогранник, у которого любые три вершины соединены двумерной гранью-треугольником. И так далее.
А начиная с размерности 6, точно так же можно построить выпуклый многогранник, у которого любые три вершины соединены двумерной гранью-треугольником. И так далее.
А завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет лекция Окунькова!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
http://book.etudes.ru/toc/patternhappen/
«Наполненные гелием воздушные шары в моём детстве были редкостью и завораживали нас своим стремлением ввысь. Теперь, конечно, ими никого не удивишь, но всё равно грустно смотреть вслед упущенному и стремительно взмывающему вверх шару. Самое время поразмыслить о случайности и закономерности…»
пусть здесь будет небольшой текст Андрея Окунькова из «Математической составляющей»
«Наполненные гелием воздушные шары в моём детстве были редкостью и завораживали нас своим стремлением ввысь. Теперь, конечно, ими никого не удивишь, но всё равно грустно смотреть вслед упущенному и стремительно взмывающему вверх шару. Самое время поразмыслить о случайности и закономерности…»
пусть здесь будет небольшой текст Андрея Окунькова из «Математической составляющей»
Завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет лекция Этьена Жиса; если (надеюсь!) не будет никаких накладок, то я буду её синхронно переводить на русский.
А пока — в качестве рекламы хочется вспомнить его лекцию в ЛШСМ-2008:
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=228
Она начинается с прекрасного сюжета про соприкасающиеся окружности — который я, собственно, тогда от Этьена и узнал.
А пока — в качестве рекламы хочется вспомнить его лекцию в ЛШСМ-2008:
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=228
Она начинается с прекрасного сюжета про соприкасающиеся окружности — который я, собственно, тогда от Этьена и узнал.
Вот здесь Этьен говорит: зачастую, если вы просите кого-то нарисовать кривую и множество соприкасающихся с ней окружностей в всех точках, вы получаете что-нибудь такое: