И это довольно интересно: ведь параметры, при которых происходит "сваливание в периодическую орбиту", образуют открытое плотное множество. То есть где угодно на отрезке параметров есть маленький интервал, отвечающий тому, что всё стремится к какой-то притягивающей периодической орбите.
(Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)
(Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)
Так вот — несмотря на то, что множество гиперболических (всё стремится к устойчивой периодической орбите) параметров открытое и плотное, после того, как все эти интервалы выкинуты, ещё что-то остаётся!
Зато в объединении — "гиперболические" и "хаотические" параметры уже покрывают почти весь отрезок (с точностью до меры 0).
Я процитирую слайд из другого доклада Шишикуры (https://www.impan.pl/konferencje/bcc/2018/18-juliasets/shishikura-bedlewo-juliasets.pdf ) —
В лекции Гаянэ Паниной упоминалась кривая Веронезе — кривая в R^n, задаваемая параметрически как
(t,t^2,t^3,...,t^n).
Я в первый раз о ней узнал на одном из курсов в Независимом — где с её помощью строился совершенно прекрасный пример.
Вот на плоскости, если у выпуклого многоугольника любые две вершины соединены ребром, то это треугольник.
В пространстве, если у выпуклого (неплоского) многогранника любые две вершины соединены ребром — то это тетраэдр. (И это, кстати, уже не совсем тривиально!)
А что будет в старших размерностях?
(t,t^2,t^3,...,t^n).
Я в первый раз о ней узнал на одном из курсов в Независимом — где с её помощью строился совершенно прекрасный пример.
Вот на плоскости, если у выпуклого многоугольника любые две вершины соединены ребром, то это треугольник.
В пространстве, если у выпуклого (неплоского) многогранника любые две вершины соединены ребром — то это тетраэдр. (И это, кстати, уже не совсем тривиально!)
А что будет в старших размерностях?
Так вот — уже в размерности 4 можно предъявить выпуклый многогранник с любым числом вершин, такой, что любые две соединены ребром.
А именно — давайте возьмём любые n точек на кривой Веронезе в R^4, отвечающие параметрам t_1,t_2,...,t_n.
Их выпуклая оболочка и будет искомым многогранником. Действительно: посмотрим на многочлен
P(t) = (t-t_i)^2 (t-t_j)^2.
Если в нём раскрыть скобки, то получится линейная комбинация 1, t ,..., t^4:
P(t)=a_0+a_1 t +...+a_4 t^4.
Превратим её в линейную функцию:
L(x_1,...,x_4)=a_0+a_1 x_1+...+a_4 x_4.
Эта функция равна 0 в вершинах с t=t_i и t=t_j, и положительна во всех остальных. Значит, эти две вершины лежат на гиперплоскости L=0, а все остальные — вне неё в одном и том же полупространстве L>0.
P(t) = (t-t_i)^2 (t-t_j)^2.
Если в нём раскрыть скобки, то получится линейная комбинация 1, t ,..., t^4:
P(t)=a_0+a_1 t +...+a_4 t^4.
Превратим её в линейную функцию:
L(x_1,...,x_4)=a_0+a_1 x_1+...+a_4 x_4.
Эта функция равна 0 в вершинах с t=t_i и t=t_j, и положительна во всех остальных. Значит, эти две вершины лежат на гиперплоскости L=0, а все остальные — вне неё в одном и том же полупространстве L>0.
И потому эти две вершины это действительно вершины выпуклой оболочки, причём соединённые ребром.
А начиная с размерности 6, точно так же можно построить выпуклый многогранник, у которого любые три вершины соединены двумерной гранью-треугольником. И так далее.
А начиная с размерности 6, точно так же можно построить выпуклый многогранник, у которого любые три вершины соединены двумерной гранью-треугольником. И так далее.
А завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет лекция Окунькова!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
http://book.etudes.ru/toc/patternhappen/
«Наполненные гелием воздушные шары в моём детстве были редкостью и завораживали нас своим стремлением ввысь. Теперь, конечно, ими никого не удивишь, но всё равно грустно смотреть вслед упущенному и стремительно взмывающему вверх шару. Самое время поразмыслить о случайности и закономерности…»
пусть здесь будет небольшой текст Андрея Окунькова из «Математической составляющей»
«Наполненные гелием воздушные шары в моём детстве были редкостью и завораживали нас своим стремлением ввысь. Теперь, конечно, ими никого не удивишь, но всё равно грустно смотреть вслед упущенному и стремительно взмывающему вверх шару. Самое время поразмыслить о случайности и закономерности…»
пусть здесь будет небольшой текст Андрея Окунькова из «Математической составляющей»
Завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет лекция Этьена Жиса; если (надеюсь!) не будет никаких накладок, то я буду её синхронно переводить на русский.
А пока — в качестве рекламы хочется вспомнить его лекцию в ЛШСМ-2008:
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=228
Она начинается с прекрасного сюжета про соприкасающиеся окружности — который я, собственно, тогда от Этьена и узнал.
А пока — в качестве рекламы хочется вспомнить его лекцию в ЛШСМ-2008:
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=228
Она начинается с прекрасного сюжета про соприкасающиеся окружности — который я, собственно, тогда от Этьена и узнал.
Вот здесь Этьен говорит: зачастую, если вы просите кого-то нарисовать кривую и множество соприкасающихся с ней окружностей в всех точках, вы получаете что-нибудь такое:
Потому что пока радиус кривизны меняется монотонно — соприкасающиеся окружности лежат одна внутри другой и не пересекаются!
Вот как выглядит их набор для спирали:
Вот как выглядит их набор для спирали: