Например, у квадрата эти разности нулевые. А можно ли "повернуть" квадрат, если из разрешённых операций есть только разрезание и параллельный перенос?

(Изображение из первой части всё той же статьи в Images de Maths, https://images.math.cnrs.fr/Un-triangle-et-une-enigme.html )

Так вот — оказывается, повернуть квадрат можно. И это делается с помощью дважды применённого "пифагорского" разрезания:

(картинка оттуда же)

Более того, теорема Хадвигера-Глюра утверждает, что инвариант действительно полный: из уже процитированного текста с ЛКТГ-2007 —

А вот исходная статья Хадвигера-Глюра, где эта теорема появляется:
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN378850199_0006?tify={%22pages%22:[101],%22view%22:%22export%22}
Собственно, очень интересно её полистать (особенно, когда знаешь, что там должно быть написано — удивительное ощущение, когда язык перестаёт быть препятствием, хоть статья и по-немецки).

Вот тут вводится инвариант —

А вот теорема о том, что это критерий:

Аккуратные картинки с разрезаниями и перестановками —

А что будет в пространстве, — для начала, если можно только параллельно переносить части? Каким будет полный инвариант?
Конечно, будет сохраняться объём. И точно так же, как и раньше, можно взять горизонтальные грани, и вычесть из полной площади "нижних" горизонтальных граней полную площадь "верхних" горизонтальных граней. И точно так же можно сделать вообще для любой плоскости — посчитать с разными знаками площади параллельных ей граней, в зависимости от того, в какую сторону смотрит внешняя нормаль.
А всё ли это?

На самом деле — нет, не всё. Потому что у каждой грани есть не только площадь — но и плоский инвариант Хадвигера! Поэтому для каждой плоскости и для каждого направления в этой плоскости у нас будет инвариантная величина — знакопеременная сумма по граням, параллельным плоскости, от тоже знакопеременной суммы длин параллельных этому направлению рёбер.

А вот теперь уже точно всё — такой набор это уже полный инвариант. А вот фотография доски с заключительного занятия курса А. Гайфуллина на ЛШСМ-2018, http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=21728&option_lang=rus (70-я минута):

Да, тот курс был совершенно замечательный; и вот один из прекрасных результатов оттуда, который я не побоюсь назвать его жемчужиной.
Есть такие интересные объекты — изгибаемые многогранники. Представим себе, что у многогранника грани жёсткие, "сделаны из дерева", но на рёбрах сходятся под произвольным углом (скреплены клейкой лентой для маленькой модели — или дверными петлями для большой). Если сделать такой куб — он будет жёстким. А некоторые многогранники — нет, их оказывается возможным непрерывно изгибать!

Оказывается, кузнечные меха из изгибаемого многогранника делать бессмысленно: в процессе изгибания его объём остаётся постоянным. Это следует из теоремы Сабитова; я тут процитирую брошюру Н. П. Долбилина, "Жемчужины теории многогранников" (https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.5.pdf ) :