Продолжим?
Давайте вернёмся к исходному вопросу про параллельные переносы. Ответ на него отрицательный — и как обычно при доказательстве не-существования, нужен инвариант.
И тут он очень простой: суммарная длина горизонтальных отрезков, являющихся "нижними" сторонами фигуры, минус суммарная длина горизонтальных отрезков, являющихся "верхними" сторонами.

Понятно, что это инвариант (при проведении разрезов обе длины меняются одинаково, так что их разность не меняется) — и столь же очевидно, что он наши два треугольника различает.
Конечно же, такую же разность можно посчитать для любого другого направления, не обязательно для горизонтального. Так что инвариантом будет аж целая функция от направления (правда, отличная от нуля лишь в конечном числе точек).

Собственно, коллеги про это уже написали:

https://www.turgor.ru/lktg/2007/1/1-1ru.pdf

на тему разрезания многоугольников и многогранников — напомним еще такой материал с ЛКТГ-2007 (М.Прасолов, М.Скопенков, Б.Френкин)

в т.ч. из текста можно узнать, как решать задачу выше про два треугольника

конкретно про это, впрочем, и здесь написать не долго: величина (суммарная длина горизонтальных сторон, к которым многоугольник примыкает снизу) – (<…> сверху) является инвариантом

А что, если все такие разности — и площадь, без неё никуда — у двух фигур одинаковы?

Например, у квадрата эти разности нулевые. А можно ли "повернуть" квадрат, если из разрешённых операций есть только разрезание и параллельный перенос?

(Изображение из первой части всё той же статьи в Images de Maths, https://images.math.cnrs.fr/Un-triangle-et-une-enigme.html )

Так вот — оказывается, повернуть квадрат можно. И это делается с помощью дважды применённого "пифагорского" разрезания:

(картинка оттуда же)

Более того, теорема Хадвигера-Глюра утверждает, что инвариант действительно полный: из уже процитированного текста с ЛКТГ-2007 —

А вот исходная статья Хадвигера-Глюра, где эта теорема появляется:
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN378850199_0006?tify={%22pages%22:[101],%22view%22:%22export%22}
Собственно, очень интересно её полистать (особенно, когда знаешь, что там должно быть написано — удивительное ощущение, когда язык перестаёт быть препятствием, хоть статья и по-немецки).

Вот тут вводится инвариант —

А вот теорема о том, что это критерий:

Аккуратные картинки с разрезаниями и перестановками —

А что будет в пространстве, — для начала, если можно только параллельно переносить части? Каким будет полный инвариант?
Конечно, будет сохраняться объём. И точно так же, как и раньше, можно взять горизонтальные грани, и вычесть из полной площади "нижних" горизонтальных граней полную площадь "верхних" горизонтальных граней. И точно так же можно сделать вообще для любой плоскости — посчитать с разными знаками площади параллельных ей граней, в зависимости от того, в какую сторону смотрит внешняя нормаль.
А всё ли это?