А вот теорема о том, что это критерий:

Аккуратные картинки с разрезаниями и перестановками —

А что будет в пространстве, — для начала, если можно только параллельно переносить части? Каким будет полный инвариант?
Конечно, будет сохраняться объём. И точно так же, как и раньше, можно взять горизонтальные грани, и вычесть из полной площади "нижних" горизонтальных граней полную площадь "верхних" горизонтальных граней. И точно так же можно сделать вообще для любой плоскости — посчитать с разными знаками площади параллельных ей граней, в зависимости от того, в какую сторону смотрит внешняя нормаль.
А всё ли это?

На самом деле — нет, не всё. Потому что у каждой грани есть не только площадь — но и плоский инвариант Хадвигера! Поэтому для каждой плоскости и для каждого направления в этой плоскости у нас будет инвариантная величина — знакопеременная сумма по граням, параллельным плоскости, от тоже знакопеременной суммы длин параллельных этому направлению рёбер.

А вот теперь уже точно всё — такой набор это уже полный инвариант. А вот фотография доски с заключительного занятия курса А. Гайфуллина на ЛШСМ-2018, http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=21728&option_lang=rus (70-я минута):

Да, тот курс был совершенно замечательный; и вот один из прекрасных результатов оттуда, который я не побоюсь назвать его жемчужиной.
Есть такие интересные объекты — изгибаемые многогранники. Представим себе, что у многогранника грани жёсткие, "сделаны из дерева", но на рёбрах сходятся под произвольным углом (скреплены клейкой лентой для маленькой модели — или дверными петлями для большой). Если сделать такой куб — он будет жёстким. А некоторые многогранники — нет, их оказывается возможным непрерывно изгибать!

Оказывается, кузнечные меха из изгибаемого многогранника делать бессмысленно: в процессе изгибания его объём остаётся постоянным. Это следует из теоремы Сабитова; я тут процитирую брошюру Н. П. Долбилина, "Жемчужины теории многогранников" (https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.5.pdf ) :

Так вот, оказывается — и это совместный результат А.А.Гайфуллина и Л.С. Игнащенко 2017 (!) года — что изгибаемый многогранник не просто сохраняет свой объём в процессе изгибания, а любые его два положения в процессе изгибания равносоставлены друг другу: можно его разрезать на конечное число частей, их переставить-повернуть, объединить, и получить другое положение.

Более того — некоторое время считалось, что к этому утверждению построен контрпример; я процитирую тут аннотацию к их статье, http://mi.mathnet.ru/rus/tm/v302/p143 :

Вещь совершенно замечательная — с очень красивым рассуждением, использующим комплексное продолжение, логарифмы, формулу Шлефли и теорему Лиувилля.
А вот ссылка на видеозапись именно той лекции, где это рассказывается — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=21727&option_lang=rus (и ещё один рассказ есть тут — http://www.mathnet.ru/present19144 ).

Слева то, что нужно для равносоставленности: постоянство инварианта Дэна. Справа — теорема Лиувилля: ограниченная целая функция постоянна.
Ну и на этой "сцепке" (из которой становится понятно, зачем нужно комплексное продолжение, и как хотя бы в принципе доказательство может работать) я эту байку на сегодня завершу.

Да, а ещё коллеги напомнили, что у канала вчера был день рождения!

https://youtu.be/mH0oCDa74tE

Вышло новое видео 3blue1brown — от обсуждения того, что такое группы и зачем они нужны, до Монстра (простой группы порядка 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000)

Бонус для желающих подробностей: http://www.ams.org/notices/200209/what-is.pdf — короткий текст Борчердса про Монстра (из серии «What is…»)

На странице https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ выложены ссылки на видеозаписи всех лекций — и слайды/запись доски от некоторых из них.
Ещё они есть одним плейлистом —
https://www.youtube.com/watch?v=xRRNCuxLEyQ&list=PLp9ABVh6_x4ET5so529u3C129XqkY8Gn_ ; и они же на mathnet-е — http://www.mathnet.ru/conf1828 .