Оказывается, кузнечные меха из изгибаемого многогранника делать бессмысленно: в процессе изгибания его объём остаётся постоянным. Это следует из теоремы Сабитова; я тут процитирую брошюру Н. П. Долбилина, "Жемчужины теории многогранников" (https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.5.pdf ) :

Так вот, оказывается — и это совместный результат А.А.Гайфуллина и Л.С. Игнащенко 2017 (!) года — что изгибаемый многогранник не просто сохраняет свой объём в процессе изгибания, а любые его два положения в процессе изгибания равносоставлены друг другу: можно его разрезать на конечное число частей, их переставить-повернуть, объединить, и получить другое положение.

Более того — некоторое время считалось, что к этому утверждению построен контрпример; я процитирую тут аннотацию к их статье, http://mi.mathnet.ru/rus/tm/v302/p143 :

Вещь совершенно замечательная — с очень красивым рассуждением, использующим комплексное продолжение, логарифмы, формулу Шлефли и теорему Лиувилля.
А вот ссылка на видеозапись именно той лекции, где это рассказывается — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=21727&option_lang=rus (и ещё один рассказ есть тут — http://www.mathnet.ru/present19144 ).

Слева то, что нужно для равносоставленности: постоянство инварианта Дэна. Справа — теорема Лиувилля: ограниченная целая функция постоянна.
Ну и на этой "сцепке" (из которой становится понятно, зачем нужно комплексное продолжение, и как хотя бы в принципе доказательство может работать) я эту байку на сегодня завершу.

Да, а ещё коллеги напомнили, что у канала вчера был день рождения!

https://youtu.be/mH0oCDa74tE

Вышло новое видео 3blue1brown — от обсуждения того, что такое группы и зачем они нужны, до Монстра (простой группы порядка 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000)

Бонус для желающих подробностей: http://www.ams.org/notices/200209/what-is.pdf — короткий текст Борчердса про Монстра (из серии «What is…»)

На странице https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ выложены ссылки на видеозаписи всех лекций — и слайды/запись доски от некоторых из них.
Ещё они есть одним плейлистом —
https://www.youtube.com/watch?v=xRRNCuxLEyQ&list=PLp9ABVh6_x4ET5so529u3C129XqkY8Gn_ ; и они же на mathnet-е — http://www.mathnet.ru/conf1828 .

Давайте я скажу ещё пару слов про исходную задачу — про то, что треугольники вершиной вверх и вниз разрезаниями и параллельными переносами друг в друга превратить нельзя. А именно, интересно, что в "Images de Maths" эту невозможность рассказывают по-другому. И мне тут потребуется экскурс, казалось бы, совсем в сторону.

Если у нас (на плоскости, или в R^n) есть два множества, A и B, то можно определить их сумму Минковского: просто множество всевозможных сумм x+y:
A+B = {x+y | x\in A, y\in B}

Правда, при таком определении расположение этой суммы будет зависеть от того, где находится начало координат, так что давайте сразу рассматривать множества с точностью до параллельного переноса.

Если вместо суммы брать полусумму — то получится множество середин отрезков, соединяющих точки этих множеств. И я тут хочу вспомнить статью Н. Б. Васильева "Сложение фигур" в "Кванте" — http://kvant.mccme.ru/1976/04/slozhenie_figur.htm .

Кстати — хорошая задача оттуда: как выглядит ГМТ середин отрезков, соединяющих две точки на полуокружности?

Иллюстрация оттуда же — показывающая много разных сумм Минковского:

Если множества A и B выпуклые, то и их сумма A+B выпуклая. (Собственно, с этой задачи статья Н. Б. Васильева и начинается.)

А сумма множества A с кругом/с шаром радиуса ε это ε -окрестность A.

А как устроена площадь ε-окрестности выпуклой фигуры на плоскости?

Легко понять, что при небольших ε она возрастает примерно на (периметр фигуры)*ε. А в старшей размерности — объём фигуры увеличивается в первом порядке на ε*(её площадь поверхности).