Если вместо суммы брать полусумму — то получится множество середин отрезков, соединяющих точки этих множеств. И я тут хочу вспомнить статью Н. Б. Васильева "Сложение фигур" в "Кванте" — http://kvant.mccme.ru/1976/04/slozhenie_figur.htm .

Кстати — хорошая задача оттуда: как выглядит ГМТ середин отрезков, соединяющих две точки на полуокружности?

Иллюстрация оттуда же — показывающая много разных сумм Минковского:

Если множества A и B выпуклые, то и их сумма A+B выпуклая. (Собственно, с этой задачи статья Н. Б. Васильева и начинается.)

А сумма множества A с кругом/с шаром радиуса ε это ε -окрестность A.

А как устроена площадь ε-окрестности выпуклой фигуры на плоскости?

Легко понять, что при небольших ε она возрастает примерно на (периметр фигуры)*ε. А в старшей размерности — объём фигуры увеличивается в первом порядке на ε*(её площадь поверхности).

Утверждение, которое меня в своё время удивило: площадь ε-окрестности A_ε выпуклой фигуры A на плоскости — многочлен от ε:
S(A_ε) = S(A)+ε*L(A)+πε^2,
где L(A) — периметр A.

Доказательство для случая многоугольника:

ε-окрестность разбивается на сам многоугольник, прямоугольники, построенные на его сторонах, и сектора в вершинах, собирающиеся в точности в круг радиуса ε.

Эта иллюстрация для случая треугольника — но для случая любого выпуклого многоугольника будет то же самое. Кстати, собирающиеся сектора это то же самое рассуждение, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 2π:

(Изображение из Мат. этюдов — https://etudes.ru/ru/models/exterior-angles-sum/ )

Правда, тут внешние углы, а наши сектора это угол между перпендикулярами вовне к сторонам, но одно от другого отличается поворотом на 90 градусов.

Так что — площадь ε-окрестности выпуклой фигуры это в точности многочлен второй степени от ε!

В пространстве будет то же самое — только многочлен от радиуса окрестности уже будет третьей степени; понятно, что свободным членом будет объём, линейным ε*площадь поверхности, кубическим — объём того шара радиуса ε, в который соберутся торчащие в вершинах кусочки.

А вот с квадратичным членом интереснее — коэффициентом при ε^2 будет сумма по рёбрам
"(длина ребра)"*"(внешний двугранный угол)"; очень напоминает инвариант Дена, но я не знаю дороги к нему отсюда.

Да, ещё на этом множестве выпуклых фигур с точностью до параллельного переноса есть естественная операция умножения на положительное число — просто гомотетия. И легко видеть, что она хорошо со сложением по Минковскому согласована:
aA+bA=(a+b)A.

А что можно сказать о площади "линейной комбинации" aA+bB двух выпуклых множеств A и B с положительными коэффициентами a,b>0? Оказывается, это однородный многочлен степени 2:
S(aA+bB)=a^2*S(A)+b^2*S(B)+2ab*S(A,B),
где S(A,B) — некоторая величина, которую мы назовём смешанной площадью фигур A и B.
Немного напоминает, как по квадратичной форме восстанавливается билинейная, правда?

А вообще множество выпуклых тел уже почти является линейным пространством — только вычитать нельзя. Ну если нельзя, но очень хочется, то можно: давайте его превратим в линейное пространство, добавив "формальные разности" двух множеств. А именно, рассмотрим все формальные "разности" A-B выпуклых множеств, и отфакторизовав по отношению эквивалентности: положим
A-B=C-D,
если
A+D=B+C
(немного напоминает определение поля частных, правда? и кстати, проверять нужно тоже похожие вещи, хоть я это сейчас и под ковёр заметаю)