https://youtu.be/mH0oCDa74tE

Вышло новое видео 3blue1brown — от обсуждения того, что такое группы и зачем они нужны, до Монстра (простой группы порядка 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000)

Бонус для желающих подробностей: http://www.ams.org/notices/200209/what-is.pdf — короткий текст Борчердса про Монстра (из серии «What is…»)

На странице https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ выложены ссылки на видеозаписи всех лекций — и слайды/запись доски от некоторых из них.
Ещё они есть одним плейлистом —
https://www.youtube.com/watch?v=xRRNCuxLEyQ&list=PLp9ABVh6_x4ET5so529u3C129XqkY8Gn_ ; и они же на mathnet-е — http://www.mathnet.ru/conf1828 .

Давайте я скажу ещё пару слов про исходную задачу — про то, что треугольники вершиной вверх и вниз разрезаниями и параллельными переносами друг в друга превратить нельзя. А именно, интересно, что в "Images de Maths" эту невозможность рассказывают по-другому. И мне тут потребуется экскурс, казалось бы, совсем в сторону.

Если у нас (на плоскости, или в R^n) есть два множества, A и B, то можно определить их сумму Минковского: просто множество всевозможных сумм x+y:
A+B = {x+y | x\in A, y\in B}

Правда, при таком определении расположение этой суммы будет зависеть от того, где находится начало координат, так что давайте сразу рассматривать множества с точностью до параллельного переноса.

Если вместо суммы брать полусумму — то получится множество середин отрезков, соединяющих точки этих множеств. И я тут хочу вспомнить статью Н. Б. Васильева "Сложение фигур" в "Кванте" — http://kvant.mccme.ru/1976/04/slozhenie_figur.htm .

Кстати — хорошая задача оттуда: как выглядит ГМТ середин отрезков, соединяющих две точки на полуокружности?

Иллюстрация оттуда же — показывающая много разных сумм Минковского:

Если множества A и B выпуклые, то и их сумма A+B выпуклая. (Собственно, с этой задачи статья Н. Б. Васильева и начинается.)

А сумма множества A с кругом/с шаром радиуса ε это ε -окрестность A.

А как устроена площадь ε-окрестности выпуклой фигуры на плоскости?

Легко понять, что при небольших ε она возрастает примерно на (периметр фигуры)*ε. А в старшей размерности — объём фигуры увеличивается в первом порядке на ε*(её площадь поверхности).

Утверждение, которое меня в своё время удивило: площадь ε-окрестности A_ε выпуклой фигуры A на плоскости — многочлен от ε:
S(A_ε) = S(A)+ε*L(A)+πε^2,
где L(A) — периметр A.

Доказательство для случая многоугольника:

ε-окрестность разбивается на сам многоугольник, прямоугольники, построенные на его сторонах, и сектора в вершинах, собирающиеся в точности в круг радиуса ε.

Эта иллюстрация для случая треугольника — но для случая любого выпуклого многоугольника будет то же самое. Кстати, собирающиеся сектора это то же самое рассуждение, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 2π:

(Изображение из Мат. этюдов — https://etudes.ru/ru/models/exterior-angles-sum/ )

Правда, тут внешние углы, а наши сектора это угол между перпендикулярами вовне к сторонам, но одно от другого отличается поворотом на 90 градусов.

Так что — площадь ε-окрестности выпуклой фигуры это в точности многочлен второй степени от ε!