Вот так — участок побольше:

Вот так — ещё побольше:

И явно видна диагональ:

А что ей соответствует? И будет ли так продолжаться и дальше?

http://www.mathnet.ru/present14521

С.К.Смирнову исполняется сегодня 50 лет

вот можно послушать, например, как он рассказывает на ЛШСМ-2016 про то, сколько можно нарисовать по клеточкам несамопересекающих кривых длины n и как выглядит типичная такая кривая — это оказывается связанным со статистической физикой, комплексным анализом и проч. — при этом сама лекция элементарна и доступна школьникам

(Лекция, кстати, действительно была великолепная.)

Давайте я начну с чуть более простого вопроса: какие первые несколько цифр после запятой у числа (1+sqrt{2})^100?

Давайте раскроем скобки: получится какое-то выражение вида A+B\sqrt{2}, где A и B — огромные целые числа. Казалось бы, с таким не очень поработаешь.

Но — когда мы работаем с комплексными числами, там есть комплексное сопряжение, заменяющее i на (-i): один корень уравнения z^2=-1 на другой. А что, если мы попробуем заменить \sqrt{2} на -\sqrt{2} — один корень уравнения x^2=2 на другой?

Число (1+\sqrt{2}) заменится на число (1-\sqrt{2}), и несложно видеть, что
(1-\sqrt{2})^100 = A - B \sqrt{2}.
Тут можно просто проследить раскрытие скобок, а можно сказать, что такая замена — автоморфизм поля
Q[\sqrt{2}]={a+b\sqrt{2}| a, b\in Q}.

Давайте теперь эти два числа сложим:
(1+\sqrt{2})^100 + (1-\sqrt{2})^100 = 2A.
Но второе слагаемое безумно маленькое: |1-\sqrt{2}|=0.41...<1/2, так что
0< (1-\sqrt{2})^100 < 1/2^100 < 1/10^30.
(И положительное, потому что степень 100 чётная.)

Значит,
(1+\sqrt{2})^100 = 2A - (1-\sqrt{2})^100 = *,999999999999*
(где можно обещать как минимум 30 девяток).

А вот значение (спасибо WolframAlpha — https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2B%5Csqrt%7B2%7D%29%5E100 )
189482250299273866835746159841800035873,999999999999999999999999999999999999994722460819308560...

Поэтому число (1+\sqrt{2})^100 — почти целое, но не с кучей нулей, а с кучей девяток после запятой. А вот если бы я спросил про (1+\sqrt{2})^99, то вот там после запятой пошли бы нули, потому что (1-\sqrt{2})^99 — безумно маленькое, но отрицательное.

Кстати — такое же рассуждение проходит и в некоторых других ситуациях. Например, для большой степени золотого сечения
\phi = (1+\sqrt{5})/2.

Более того, пусть у нас есть многочлен
P(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1 z+a_0
с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Тогда сумма k-ых степеней его корней — всегда целое число (что, кстати, хорошее упражнение). Значит, если у многочлена P(z) только один корень z_1 по модулю больше 1, а все остальные по модулю меньше единицы, то степени (z_1)^k этого корня становятся всё ближе и ближе к целым числам.

Такие числа называют числами Пизо (Pisot numbers): https://en.wikipedia.org/wiki/Pisot%E2%80%93Vijayaraghavan_number
Кстати, число Трибоначчи — вещественный корень уравнения x^3=x^2+x+1, равный 1.839... — как раз таково (потому что два других корня комплексно-сопряжённые, а произведение всех трёх корней равно 1.

Ну и уже понятно, что делать с исходным вопросом. А именно — если добавить к (\sqrt{2}+\sqrt{3})^100 такую же степень разности (\sqrt{2}-\sqrt{3})^100, то получится целое число. А сотая степень разности опять очень маленькая и положительная — поэтому десятая цифра после запятой у (\sqrt{2}+\sqrt{3})^100 это девятка (как и девять предыдущих и даже больше последующих):
(\sqrt{2}+\sqrt{3})^100 = 60189565958534864246850581634349698760897425062497,
9999999999999999999999999999999999999999999999999
83385824701096714433932...

Следующий вопрос-затравка: а что можно сказать о первых цифрах после запятой у чисел
exp(π\sqrt{163}),
exp(π\sqrt{67})
и
exp(π\sqrt{43}) ?