Так вот, обычную скатерть Улама наверняка многие видели. А что будет, если её начать не с 1, а с другого числа — а именно, с числа 41?
А что ей соответствует? И будет ли так продолжаться и дальше?
Forwarded from Непрерывное математическое образование
http://www.mathnet.ru/present14521
С.К.Смирнову исполняется сегодня 50 лет
вот можно послушать, например, как он рассказывает на ЛШСМ-2016 про то, сколько можно нарисовать по клеточкам несамопересекающих кривых длины n и как выглядит типичная такая кривая — это оказывается связанным со статистической физикой, комплексным анализом и проч. — при этом сама лекция элементарна и доступна школьникам
С.К.Смирнову исполняется сегодня 50 лет
вот можно послушать, например, как он рассказывает на ЛШСМ-2016 про то, сколько можно нарисовать по клеточкам несамопересекающих кривых длины n и как выглядит типичная такая кривая — это оказывается связанным со статистической физикой, комплексным анализом и проч. — при этом сама лекция элементарна и доступна школьникам
Математические байки
Десятая цифра после запятой у числа (sqrt{2}+sqrt{3})^100 это:
Давайте я начну с чуть более простого вопроса: какие первые несколько цифр после запятой у числа (1+sqrt{2})^100?
Давайте раскроем скобки: получится какое-то выражение вида A+B\sqrt{2}, где A и B — огромные целые числа. Казалось бы, с таким не очень поработаешь.
Но — когда мы работаем с комплексными числами, там есть комплексное сопряжение, заменяющее i на (-i): один корень уравнения z^2=-1 на другой. А что, если мы попробуем заменить \sqrt{2} на -\sqrt{2} — один корень уравнения x^2=2 на другой?
Число (1+\sqrt{2}) заменится на число (1-\sqrt{2}), и несложно видеть, что
(1-\sqrt{2})^100 = A - B \sqrt{2}.
Тут можно просто проследить раскрытие скобок, а можно сказать, что такая замена — автоморфизм поля
Q[\sqrt{2}]={a+b\sqrt{2}| a, b\in Q}.
(1-\sqrt{2})^100 = A - B \sqrt{2}.
Тут можно просто проследить раскрытие скобок, а можно сказать, что такая замена — автоморфизм поля
Q[\sqrt{2}]={a+b\sqrt{2}| a, b\in Q}.
Давайте теперь эти два числа сложим:
(1+\sqrt{2})^100 + (1-\sqrt{2})^100 = 2A.
Но второе слагаемое безумно маленькое: |1-\sqrt{2}|=0.41...<1/2, так что
0< (1-\sqrt{2})^100 < 1/2^100 < 1/10^30.
(И положительное, потому что степень 100 чётная.)
(1+\sqrt{2})^100 + (1-\sqrt{2})^100 = 2A.
Но второе слагаемое безумно маленькое: |1-\sqrt{2}|=0.41...<1/2, так что
0< (1-\sqrt{2})^100 < 1/2^100 < 1/10^30.
(И положительное, потому что степень 100 чётная.)
Значит,
(1+\sqrt{2})^100 = 2A - (1-\sqrt{2})^100 = *,999999999999*
(где можно обещать как минимум 30 девяток).
(1+\sqrt{2})^100 = 2A - (1-\sqrt{2})^100 = *,999999999999*
(где можно обещать как минимум 30 девяток).
А вот значение (спасибо WolframAlpha — https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2B%5Csqrt%7B2%7D%29%5E100 )
189482250299273866835746159841800035873,999999999999999999999999999999999999994722460819308560...
189482250299273866835746159841800035873,999999999999999999999999999999999999994722460819308560...
Wolframalpha
(1+\sqrt{2})^100 - Wolfram|Alpha
Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.