Оказывается, что они часто выстраиваются вдоль диагоналей; вот скатерть Улама в квадрате 200x200 — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ulam_1.png

А вот фотография скатерти Улама из столовой МЦНМО/НМУ (спасибо Г. Мерзону за фотографии!) —

Так вот, обычную скатерть Улама наверняка многие видели. А что будет, если её начать не с 1, а с другого числа — а именно, с числа 41?

Вот так будет выглядеть начальный участок:

Вот так — участок побольше:

Вот так — ещё побольше:

И явно видна диагональ:

А что ей соответствует? И будет ли так продолжаться и дальше?

http://www.mathnet.ru/present14521

С.К.Смирнову исполняется сегодня 50 лет

вот можно послушать, например, как он рассказывает на ЛШСМ-2016 про то, сколько можно нарисовать по клеточкам несамопересекающих кривых длины n и как выглядит типичная такая кривая — это оказывается связанным со статистической физикой, комплексным анализом и проч. — при этом сама лекция элементарна и доступна школьникам

(Лекция, кстати, действительно была великолепная.)

Давайте я начну с чуть более простого вопроса: какие первые несколько цифр после запятой у числа (1+sqrt{2})^100?

Давайте раскроем скобки: получится какое-то выражение вида A+B\sqrt{2}, где A и B — огромные целые числа. Казалось бы, с таким не очень поработаешь.

Но — когда мы работаем с комплексными числами, там есть комплексное сопряжение, заменяющее i на (-i): один корень уравнения z^2=-1 на другой. А что, если мы попробуем заменить \sqrt{2} на -\sqrt{2} — один корень уравнения x^2=2 на другой?

Число (1+\sqrt{2}) заменится на число (1-\sqrt{2}), и несложно видеть, что
(1-\sqrt{2})^100 = A - B \sqrt{2}.
Тут можно просто проследить раскрытие скобок, а можно сказать, что такая замена — автоморфизм поля
Q[\sqrt{2}]={a+b\sqrt{2}| a, b\in Q}.