Полином Джонса — инвариант узла, который даёт даже не число, а целый многочлен. Правда, тут нужно добавить, что многочлен не просто, а многочлен Лорана, то есть с отрицательными степенями; более того, для зацеплений — если связных компонент несколько — он становится многочленом от t^{1/2} (а именно, если компонент нечётное число, то в полиноме Джонса есть только целые степени, а если чётное, то только полуцелые).

Я в какой-то момент тут писал про другой инвариант узла, число правильных трёхцветных раскрасок. Это число, например, позволяет доказать, что узел-трилистник нельзя развязать (ибо значения инварианта на трилистнике и на незаузленной окружности разные). Но число трёхцветных раскрасок не может отличить узел от его зеркального отражения — так что правый трилистник от левого оно не отличает. А полином Джонса — отличает!

Для одного из них он равен t+t^3-t^4, а для другого t^{-1}+t^{-3}-t^{-4}. Поскольку эти полиномы разные — то и узлы разные.
Кстати, отсюда легко угадать, что при зеркальном отражении узла (или зацепления) в полиноме Джонса t заменяется на t^{-1}.

Для меня полином Джонса был одним из первых знакомств с "большой математикой". На Летней Конференции Турнира Городов в 1996 году в Угличе одна из задач была посвящена как раз инвариантам — сначала кривых на плоскости, которые нельзя "ломать", а потом и инвариантам узлов:

Отсюда — https://www.turgor.ru/lktg/1996/lktg1996.pdf ;
Алексей Брониславович до сих пор вспоминает, как я его там оставил без десерта (поймав за обедом с вопросами обо всём об этом — так что десерт прошёл мимо него). А под конец лета я с упоением читал их с Прасоловым книгу "Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия" — https://www.mccme.ru/free-books/prasolov/knots.pdf

поздравляем А.А.Логунова с премией New Horizons in Mathematics «For novel techniques to study solutions to elliptic equations, and their application to long-standing problems in nodal geometry.»

в новом номере ТрВ-Науки — несколько материалов про лауреатов премии Европейского математического общества этого года

«Премия EMS — довольно хорошая молодежная премия, многие ее лауреаты достигают больших высот в математике. Среди лауреатов прошлых лет десятеро стали потом филдсовскими медалистами, в том числе Максим Концевич, Григорий Перельман, Андрей Окуньков и Станислав Смирнов; из математиков, работающих сейчас в Москве, эту премию получали еще Александр Кузнецов и Стефан Немировский. Оба лауреата нынешнего года российского происхождения получали премию Московского математического общества: Александр Ефимов в 2016, а Александр Логунов — в 2017 году.»

На всякий случай -- это я отфорвардил ещё августовское сообщение, но сейчас очень в тему.

файл книги Пьера Деорнуа про сюрреальные числа Конвея и другие игры (по его курсу на ЛШСМ) теперь доступен на странице https://mccme.ru/dubna/books/

купить бумажную книгу с цветными картинками тоже, разумеется, можно — https://biblio.mccme.ru/node/5911/shop

Написал (https://nplus1.ru/material/2020/09/24/dodecahedron ) про недавние работы J. Athreya, D. Aulicino и P. W. Hooper о замкнутых геодезических "из вершины в себя" на додекаэдре — https://arxiv.org/abs/1802.00811 + https://arxiv.org/abs/1811.04131

Довольно понятно, что такое геодезическая — локально кратчайшая линия, или, что то же самое, линия, идущая по прямой на каждой грани, а при переходе через ребро продолжающаяся так, чтобы на развёртке, где эти две грани развёрнуты на плоскость, выглядеть прямой:

Ну и тут можно вспомнить задачу — кажется, из Гарднера? — про то, как мухе проползти по кубу по кратчайшему пути из вершины в диаметрально противоположную, и какой длины будет этот путь.

А вот за вершину (если она в неё попадает) геодезическую продолжить нельзя — точно так же, как с траекториями в бильярде внутри многоугольника. Собственно, геодезические на многогранниках и бильярды в многоугольниках — исключительно близкие сюжеты.

Так вот — вопрос был такой: а есть ли на каком-нибудь правильном многограннике "кругосветная" геодезическая, которая начинается и заканчивается в одной и той же вершине?

Если бы речь шла просто о замкнутой геодезической, не заходящей в вершины вообще, то нет ничего легче. Скажем, квадратное сечение куба плоскостью, параллельной его грани. Или — что чуть интереснее — правильный шестиугольник, проходящий по серединам рёбер, который на нём высекает серединный перпендикуляр к одной из его пространственных диагоналей.

Такой путь по серединам рёбер есть и на правильном додекаэдре — и вот тут можно его появление увидеть (там 20 секунд после временной отметки, и да, я очень советую это посмотреть):
https://www.youtube.com/watch?v=E15KN8_hpcE&feature=youtu.be&t=4611

Тут резинка идёт по серединам рёбер (так что эта геодезическая аналогична правильному шестиугольнику на кубе) — и этот замкнутый путь можно увидеть на не совсем обычной развёртке додекаэдра: