Так вот: давайте строить все вообще "отпечатки", перекатывая многогранник всеми возможными способами. Или для бильярда — брать вообще все возможные композиции отражений исходной области.

Понятно, что их будет бесконечно много, они будут накладываться друг на друга, и вообще получающийся объект будет ужасен. Но.

Если вдруг какие-то две области отличаются на параллельный перенос — так отождествим их! Потому что, кроме этого параллельного переноса, их ничего не отличает друг от друга, и всё, что мы можем получить из одной, мы (летя вдоль параллельно перенесённого луча) получим и из другой.

Так вот — если все углы у нас были соизмеримы с π (во всех гранях многогранника или в многоугольнике, где у нас бильярд) — то после такого отождествления останется лишь конечное число областей.

А это и есть трансляционная (или "очень плоская") поверхность.

В качестве паузы — видео (тоже спасибо М. Панову!) более сложной траектории бильярда, тоже в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

Правда, красиво?

Так вот — из правильных многогранников и из бильярдов в "рациональных" (все углы вида (p/q)π) многоугольниках мы научились получать трансляционные поверхности. Например, из бильярда в треугольнике с углами π/8, 3π/8, π/2 получится восьмиугольник со склеенными противоположными сторонами.

А вот скриншот из видеозаписи лекции Антона Зорича на летней школе "Алгебра и геометрия" в Ярославле в 2013 году,
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=9994 , где Антон как раз эту задачу разбирает:

(Да, если что, эту и следующую лекции — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=9998 — я очень советую, так же, как и лекцию Антона на Глобусе: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=15424 )

Кстати — очень хорошее упражнение это понять, что при такой склейке сторон из восьмиугольника получается сфера с двумя ручками (а все восемь его вершин становятся одной и той же, в которую "собирается" полный угол в аж 6π).

Если возвращаться к додекаэдру — то, чтобы описать пути на нём, нам понадобится отпечатать каждую грань (а мы должны помнить, какая именно грань отпечатывается, чтобы знать, какие вершины будем соединять, и отождествлять только сдвиги одной и той же грани) каждым из 10 способов — потому что "прокатывание" додекаэдра вокруг вершины поворачивает его на π/5 = (1/10) от полного оборота.

Получается конструкция из 10*12=120 пятиугольников; на самом деле, конечно, можно их объединить в 10 развёрток (как раз каждая грань появляется по одному разу), поворачиваемых друг относительно друга на (1/10) оборота:

(Image credit: J. Athreya, D. Aulicino, P. W. Hooper)

Казалось бы, совершенно жуткий объект. Но! На нём теперь нас интересуют просто прямые (ну, разве что при выходе через одну сторону они "влетают" через другую; собственно, на полной картинке — см. https://arxiv.org/pdf/1811.04131.pdf , с. 9 — отождествляемые стороны подписаны, но этих подписей так много, что без них картинка выглядит красивее).

А ещё работу с траекториями на нём можно упрощать. Дело в том, что нас сейчас интересуют прямые и параллельность, но не интересуют углы. Поэтому если мы возьмём всю эту картинку и подействуем на неё аффинным преобразованием — то траектории перейдут в траектории, правда, на уже новой трансляционной поверхности.

Казалось бы, если мы подействуем "сильно нетривиальным" аффинным преобразованием — скажем, сожмём всю картинку по оси ординат в 100 раз и растянем в те же 100 раз по оси абсцисс — то из всех пятиугольников получатся этакие "медузы". Но. "Развёртка" у плоской поверхности не единственная — можно где-нибудь разрезать (создав этим новую пару отождествляемых сторон), перенести кусочки, приставить по отождествляемым сторонам и склеить. И "часто" из "сильно сплющенной" картинки можно восстановить опять "разумно выглядящую".

Более того, можно пытаться так делать, сокращая геодезическую (сжимая в её направлении и растягивая в перпендикулярном, чтобы площадь не менять).

Например:
Теорема. На склеенном из квадрата торе любую замкнутую геодезическую можно правильным аффинным преобразованием превратить в просто идущую вдоль ребра, а тор останется таким же, каким был.

Пример, он же начало доказательства —

Была (слева) чёрная геодезическая. Тор "накренили" преобразованием (x,y)->(x+y,y). После этого разрезали по красному пунктиру.

Получили два треугольника — параллельно перенесли правый, приставив одну зелёную сторону к другой. Получили опять тор, склеенный из квадрата — но геодезическая уже стала проще.