Справа отождествление сторон уже не такое, как слева.

Но! Хоть "поднимается" и не всякое преобразование П_5 — те, которые поднимаются, в группе всех оказываются подгруппой конечного индекса.

И получается такая цепочка: геодезические из вершины в вершину на додекаэдре — приходят из прямых лучей из вершины в вершину на "огромной поверхности". Прямой луч там проецируется в прямой луч из вершину в вершину на П_5, и на самом П_5 его можно было бы упростить аффинным преобразованием до одного из двух (ребро или диагональ). Увы, можно упрощать только преобразованием "огромной поверхности". Но такие преобразования образуют подгруппу конечного индекса — поэтому получается упростить луч до одного из конечного множества!

Вывод — задача описания всех путей из вершины в вершину на додекаэдре сведена к конечному перебору. И ура!

А ещё можно посмотреть на замкнутые геодезические на П_5, не проходящие через вершины, и на их кодирование и упрощение.
И тут я порекламирую прекрасное видео Дианы Дэвис, которое в 2012-м получило выиграло в категории "математика и физика" конкурс "Dance your PhD":
https://www.youtube.com/watch?v=FH28a7v_gDQ

Вот несколько кадров оттуда:
- действие аффинной группы —

Перестройка развёртки поверхности (отрезаем длинные "хвостики" и приносим ближе к центральной области) —

Кодирование замкнутой геодезической и её образа при перестройке —

В общем — совершенно классно сделано!
(До того, как я увидел это видео не увидел — если бы мне сказали, что можно станцевать геодезические на трансляционных поверхностях, я бы не поверил!)

И в завершение — ещё один результат, о котором рассказывал в тех лекциях Антон Зорич. Пусть на координатной плоскости периодически посажены прямоугольные деревья. Как в них будет запутываться "бильярдный" ветер — частичка, движущаяся по бильярду в их дополнении?

Если бы деревьев не было, частица убежала бы на бесконечность с линейной скоростью. Броуновское движение типичным образом в момент времени t оказывается на расстоянии порядка корня из t от начала пути.

А тут возникает показатель (2/3)!

См. — Vincent Delecroix, Pascal Hubert, Samuel Lelièvre,
Diffusion for the periodic wind-tree model
https://arxiv.org/pdf/1107.1810.pdf

И делается это опять через трансляционные поверхности и их преобразования. А именно — мы начинаем путь длины t сжимать, уменьшая его длину, и смотрим, как при этом перестраивается соответствующая поверхность. А подробнее это, пожалуй, тема для другого рассказа.

(Немного сменим тему; понятно, что тысяча лет тут указана, чтобы вопрос был формально корректно поставлен — можно было бы и десять тысяч взять...)

Возвращаясь к многогранникам и бильярдам — помните, как мы доказывали, что на правильном тетраэдре нет траектории из вершины в себя? Точно так же доказывается, что если в бильярде в равнобедренном прямоугольном треугольнике выпустить траекторию из одного из острых углов — обратно в него она вернуться не сможет. Вот в другой угол — пожалуйста; собственно, одну такую траекторию мы уже видели: