Перестройка развёртки поверхности (отрезаем длинные "хвостики" и приносим ближе к центральной области) —
Кодирование замкнутой геодезической и её образа при перестройке —
В общем — совершенно классно сделано!
(До того, как я увидел это видео не увидел — если бы мне сказали, что можно станцевать геодезические на трансляционных поверхностях, я бы не поверил!)
(До того, как я увидел это видео не увидел — если бы мне сказали, что можно станцевать геодезические на трансляционных поверхностях, я бы не поверил!)
И в завершение — ещё один результат, о котором рассказывал в тех лекциях Антон Зорич. Пусть на координатной плоскости периодически посажены прямоугольные деревья. Как в них будет запутываться "бильярдный" ветер — частичка, движущаяся по бильярду в их дополнении?
Если бы деревьев не было, частица убежала бы на бесконечность с линейной скоростью. Броуновское движение типичным образом в момент времени t оказывается на расстоянии порядка корня из t от начала пути.
См. — Vincent Delecroix, Pascal Hubert, Samuel Lelièvre,
Diffusion for the periodic wind-tree model
https://arxiv.org/pdf/1107.1810.pdf
Diffusion for the periodic wind-tree model
https://arxiv.org/pdf/1107.1810.pdf
И делается это опять через трансляционные поверхности и их преобразования. А именно — мы начинаем путь длины t сжимать, уменьшая его длину, и смотрим, как при этом перестраивается соответствующая поверхность. А подробнее это, пожалуй, тема для другого рассказа.
Какая планета наибольшую долю времени была ближайшей к Земле за последнюю тысячу лет?
Final Results
19%
Меркурий
42%
Венера
37%
Марс
3%
Юпитер
(Немного сменим тему; понятно, что тысяча лет тут указана, чтобы вопрос был формально корректно поставлен — можно было бы и десять тысяч взять...)
Математические байки
Lattices-1.pdf
Возвращаясь к многогранникам и бильярдам — помните, как мы доказывали, что на правильном тетраэдре нет траектории из вершины в себя? Точно так же доказывается, что если в бильярде в равнобедренном прямоугольном треугольнике выпустить траекторию из одного из острых углов — обратно в него она вернуться не сможет. Вот в другой угол — пожалуйста; собственно, одну такую траекторию мы уже видели:
Потому что — достроим все возможные отражения треугольника, чтобы бильярдная траектория стала прямой:
Если мы достроим отражения не только вдоль траектории, а все вообще, получится решётка — на которой образы исходного острого угла образуют вдвое более крупную подрешётку. А тогда любой отрезок, их соединяющий, раньше пройдёт через другую вершину — через середину: