См. — Vincent Delecroix, Pascal Hubert, Samuel Lelièvre,
Diffusion for the periodic wind-tree model
https://arxiv.org/pdf/1107.1810.pdf

И делается это опять через трансляционные поверхности и их преобразования. А именно — мы начинаем путь длины t сжимать, уменьшая его длину, и смотрим, как при этом перестраивается соответствующая поверхность. А подробнее это, пожалуй, тема для другого рассказа.

(Немного сменим тему; понятно, что тысяча лет тут указана, чтобы вопрос был формально корректно поставлен — можно было бы и десять тысяч взять...)

Возвращаясь к многогранникам и бильярдам — помните, как мы доказывали, что на правильном тетраэдре нет траектории из вершины в себя? Точно так же доказывается, что если в бильярде в равнобедренном прямоугольном треугольнике выпустить траекторию из одного из острых углов — обратно в него она вернуться не сможет. Вот в другой угол — пожалуйста; собственно, одну такую траекторию мы уже видели:

(Image credit: М. Панов)

Потому что — достроим все возможные отражения треугольника, чтобы бильярдная траектория стала прямой:

(Image credit: М. Панов)

Если мы достроим отражения не только вдоль траектории, а все вообще, получится решётка — на которой образы исходного острого угла образуют вдвое более крупную подрешётку. А тогда любой отрезок, их соединяющий, раньше пройдёт через другую вершину — через середину:

(Image credit: М. Панов)

И это в точности то же рассуждение, которое мы уже видели раньше — только там оно было для получающейся из правильного тетраэдра решётки из правильных треугольников.

И в статье Токарского именно из этого свойства доказывается, что источник света в одной точке не может осветить другую.

Собственно, вот кусочек с этой леммой —

(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

А вся область состоит из отражений одного такого треугольника — причём точки A_0 и A_1 обе получаются из одного и того же острого угла:

(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

Несложно видеть, что траектории из A_0 строго по горизонтали, вертикали или под 45 градусов сразу же утыкаются в вершины (и потому не продолжаются).
А все остальные траектории можно "уронить" на один треугольник ABC, отправив туда все треугольнички последовательностью отражений — и получить бильярдную траекторию. А мы уже знаем, что из вершины A в себя бильярдной траектории там нет.

А вот картинка освещения в такой же, но с меньшим числом сторон, области (правда, в ней может возникнуть желание сказать, что "а давайте разрешим прямому лучу A_0 A_1 пройти "вдоль стены"). И тут будут освещены все точки, кроме A_1:

(И ещё раз спасибо М. Панову за картинки!)