Лекция Загира начинается!

Несколько дней назад слушал доклад Тома Кемптона (Tom Kempton), и утащил оттуда красивую байку про числа Фибоначчи (хотя доклад был о более сложных вещах, конечно).

Давайте возьмём золотое сечение φ; оно удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1.

Посмотрим на множество чисел вида a+bφ, где a и b целые (иными словами, на кольцо Z[φ]). Поскольку φ удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1, на этом множестве действует умножение на φ:
φ(a+bφ) = b + (a+b) φ.
В частности, в координатах (a,b) это линейное преобразование. Причём то самое, которое переводит (F_{n-1},F_n) в (F_n,F_{n+1}).
(В частности, отсюда легко увидеть, что φ^n = F_{n-1} + F_n φ.)

Итерируя это преобразование и применяя его к начальной точке (0,1), мы видим все числа Фибоначчи (как раз все точки (F_{n-1},F_n)); и при обычном рассказе применяют линейную алгебру, говоря, что у этого преобразования есть два сохраняемых им направления — и выбрав их в качестве новых координатных осей, мы его диагонализуем.

Так вот — можно изящно без линейной алгебры обойтись. Потому что тождество, что наше преобразование отвечает умножению на φ, оно справедливо не только для целых a и b, но и для вещественных. А потому — оно сохраняет прямую a+bφ=0. Более того, любую из семейства параллельных ей прямых a+bφ=C оно переводит в прямую a+bφ=(φC) из того же семейства, расположенную в φ раз дальше от 0.

Но это одно сохраняющееся направление, а нужно два. Откуда взять второе? А вот откуда: чтобы написать наше отображение, мы воспользовались не самим золотым сечением φ, а только уравнением на него, φ^2=φ+1. А у этого уравнения есть второй корень, φ'=-1/φ.

Поэтому если бы мы взяли Z[φ'] — мы получили бы то же самое отображение. А значит, оно сохраняет и прямую
a+b φ' = 0 – иными словами, прямую a-b/φ=0 —
переводя любую параллельную ей прямую
a+b φ' = C
в прямую из того же семейства
a+b φ' = -C/φ,
умножая C на φ'=(-1/φ).

И вот мы и получили две сохраняющиеся прямые — и знаем, что если мы их выберем в качестве новых осей координат, то наше отображение одну координату, (a+bφ), будет умножать на φ, а вторую, (a-b/φ) — на (-1/φ). И отсюда сразу видно, почему не просто отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению — а даже разность φF_n - F_{n+1} стремится к нулю: потому что на каждой итерации она умножается на (-1/φ).

Вот такая замена линейной алгебры на теорию чисел. Мне очень понравилось! (Хотя конечно, у Тома всё это было только ступенькой к тому, что ему на самом деле было нужно.)

Да, ещё — Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series выложили видеозапись лекции Дона Загира: https://youtu.be/BBJiDZ8Dr6A . По-моему, было очень круто (и я точно буду пересматривать).

https://xaxam.livejournal.com/1388925.html
https://xaxam.livejournal.com/1389776.html
https://xaxam.livejournal.com/1389828.html
https://xaxam.livejournal.com/1390217.html

про геометрии

Чуть-чуть исторического — читаю сейчас "стокгольмские лекции" Поля Пенлеве (Paul Painlevé) :

Уже титульный лист интересен — "по приглашению Его Величества короля Швеции и Норвегии"

Биография Пенлеве — тем более: математик, один из создателей аналитической теории дифференциальных уравнений, профессор... А также дважды премьер-министр Франции (причём первый раз — в 1917 году; мягко сказать, не самое простое время).
В скобках — мы сейчас отлично знаем великого математика Анри Пуанкаре; а его двоюродный брат, Раймон Пуанкаре, семь лет... проработал президентом Франции (с 1913 по 1920-й; так что первый раз премьером Пенлеве был при нём).

Введение к запискам стокгольмских лекций выглядит вполне обычно-типографски:

А вот сразу за содержанием (которое идёт в конце введения) начинается красота:

В самом конце стокгольских лекций Пенлеве обсуждает задачу n тел и доказывает, что в задаче трёх тел единственная проблема, которая может возникнуть с продолжимостью решения, это столкновение: