И вот мы и получили две сохраняющиеся прямые — и знаем, что если мы их выберем в качестве новых осей координат, то наше отображение одну координату, (a+bφ), будет умножать на φ, а вторую, (a-b/φ) — на (-1/φ). И отсюда сразу видно, почему не просто отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению — а даже разность φF_n - F_{n+1} стремится к нулю: потому что на каждой итерации она умножается на (-1/φ).
Вот такая замена линейной алгебры на теорию чисел. Мне очень понравилось! (Хотя конечно, у Тома всё это было только ступенькой к тому, что ему на самом деле было нужно.)
Да, ещё — Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series выложили видеозапись лекции Дона Загира: https://youtu.be/BBJiDZ8Dr6A . По-моему, было очень круто (и я точно буду пересматривать).
Чуть-чуть исторического — читаю сейчас "стокгольмские лекции" Поля Пенлеве (Paul Painlevé) :
Математические байки
Photo
Уже титульный лист интересен — "по приглашению Его Величества короля Швеции и Норвегии"
Биография Пенлеве — тем более: математик, один из создателей аналитической теории дифференциальных уравнений, профессор... А также дважды премьер-министр Франции (причём первый раз — в 1917 году; мягко сказать, не самое простое время).
В скобках — мы сейчас отлично знаем великого математика Анри Пуанкаре; а его двоюродный брат, Раймон Пуанкаре, семь лет... проработал президентом Франции (с 1913 по 1920-й; так что первый раз премьером Пенлеве был при нём).
В скобках — мы сейчас отлично знаем великого математика Анри Пуанкаре; а его двоюродный брат, Раймон Пуанкаре, семь лет... проработал президентом Франции (с 1913 по 1920-й; так что первый раз премьером Пенлеве был при нём).
Математические байки
Photo
Введение к запискам стокгольмских лекций выглядит вполне обычно-типографски:
А вот сразу за содержанием (которое идёт в конце введения) начинается красота:
В самом конце стокгольских лекций Пенлеве обсуждает задачу n тел и доказывает, что в задаче трёх тел единственная проблема, которая может возникнуть с продолжимостью решения, это столкновение:
Казалось бы, а что тут такого удивительного, вроде как дифференциальное уравнение и будет продолжаться, пока "не сломается". Но если мы под "столкновением" понимаем, что при приближении к критическому моменту у всех положений тел предел есть, и у хотя бы двух из них он совпадает — то бывает не только это! Возможно, у положения наших материальных точек просто не будет предела в этот момент.
Так вот — оказывается, что это действительно возможно!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://ium.mccme.ru/s21/s21.html
в понедельник (8 февраля) начинается семестр в Независимом Московском университете
формат будет смешанный: будут как очные, так и дистанционные¹ занятия; приглашаются, как обычно, все желающие серьезно заниматься; подробности появляются на сайте
¹ в качестве бонуса дистанционных занятий — например, курсы Игоря Пака и Леонида Петрова (которые физически находятся в Америке)
в понедельник (8 февраля) начинается семестр в Независимом Московском университете
формат будет смешанный: будут как очные, так и дистанционные¹ занятия; приглашаются, как обычно, все желающие серьезно заниматься; подробности появляются на сайте
¹ в качестве бонуса дистанционных занятий — например, курсы Игоря Пака и Леонида Петрова (которые физически находятся в Америке)
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Математические байки
Так вот — оказывается, что это действительно возможно!
Давайте я закончу этот рассказ — посмотрим, как именно система уравнений небесной механики может "ломаться" без того, чтобы какие-то два (точечных) тела сталкивались. Для начала — а как вообще такое может происходить?
Пусть у нас есть конечное число материальных точек, которые друг с другом взаимодействуют по закону всемирного тяготения: сила, с которой взаимодействуют две частицы, равна
G m_1 m_2 / r_{12}^2.
Механика классическая, никакой теории относительности (и это важно).
Естественно, есть закон сохранения энергии. Если в какой-то момент у нас все расстояния между частицами не меньше какого-то \eps, а мы знаем полную энергию системы — то это даёт ограничение сверху на кинетическую энергию и потому на скорости частиц, а значит, ограничение снизу на время, в течение которого дифференциальное уравнение "точно не сломается".
Поэтому если система в какой-то момент t_* ломается, то наименьшее расстояние между частицами r_{min}(t) должно в этот момент стремиться к 0.
Но если особенность (т. е. то, как "ломается" решение) не типа столкновения (то есть не такого типа, что у всех частиц есть в этот момент предел, просто у каких-то частиц он совпадает), то у какой-то частицы в этот момент предела быть не должно. Значит, её скорость должна устремиться к бесконечности — а она должна начать "метаться" всё сильнее и сильнее ("как sin(1/x)").
Более того. Как показал в работе ещё 1908 года фон Цейпель (von Zeipel), если особенность не типа столкновения — то "линейный размер" системы (например, максимальное расстояние от точек до центра масс) должен в этот момент устремиться к бесконечности!
Наконец, когда мы приближаемся к моменту особенности — сила, с которой взаимодействуют далеко друг от друга отстоящие тела, на этом (очень маленьком) масштабе времени почти не влияет на их траектории. Так что мы практически смотрим на тела или их почти слипшиеся кластеры, которые могут двигаться только почти по прямым и как-то друг с другом "почти сталкиваться (и разлетаться)".
И — да полноте, а можно ли в такой ситуации обеспечить беготню (хотя бы) одного тела взад-вперёд, которая ещё и должна какие-то тела выбросить на бесконечность за конечное время?
Пусть у нас есть конечное число материальных точек, которые друг с другом взаимодействуют по закону всемирного тяготения: сила, с которой взаимодействуют две частицы, равна
G m_1 m_2 / r_{12}^2.
Механика классическая, никакой теории относительности (и это важно).
Естественно, есть закон сохранения энергии. Если в какой-то момент у нас все расстояния между частицами не меньше какого-то \eps, а мы знаем полную энергию системы — то это даёт ограничение сверху на кинетическую энергию и потому на скорости частиц, а значит, ограничение снизу на время, в течение которого дифференциальное уравнение "точно не сломается".
Поэтому если система в какой-то момент t_* ломается, то наименьшее расстояние между частицами r_{min}(t) должно в этот момент стремиться к 0.
Но если особенность (т. е. то, как "ломается" решение) не типа столкновения (то есть не такого типа, что у всех частиц есть в этот момент предел, просто у каких-то частиц он совпадает), то у какой-то частицы в этот момент предела быть не должно. Значит, её скорость должна устремиться к бесконечности — а она должна начать "метаться" всё сильнее и сильнее ("как sin(1/x)").
Более того. Как показал в работе ещё 1908 года фон Цейпель (von Zeipel), если особенность не типа столкновения — то "линейный размер" системы (например, максимальное расстояние от точек до центра масс) должен в этот момент устремиться к бесконечности!
Наконец, когда мы приближаемся к моменту особенности — сила, с которой взаимодействуют далеко друг от друга отстоящие тела, на этом (очень маленьком) масштабе времени почти не влияет на их траектории. Так что мы практически смотрим на тела или их почти слипшиеся кластеры, которые могут двигаться только почти по прямым и как-то друг с другом "почти сталкиваться (и разлетаться)".
И — да полноте, а можно ли в такой ситуации обеспечить беготню (хотя бы) одного тела взад-вперёд, которая ещё и должна какие-то тела выбросить на бесконечность за конечное время?