Так вот — можно изящно без линейной алгебры обойтись. Потому что тождество, что наше преобразование отвечает умножению на φ, оно справедливо не только для целых a и b, но и для вещественных. А потому — оно сохраняет прямую a+bφ=0. Более того, любую из семейства параллельных ей прямых a+bφ=C оно переводит в прямую a+bφ=(φC) из того же семейства, расположенную в φ раз дальше от 0.
Но это одно сохраняющееся направление, а нужно два. Откуда взять второе? А вот откуда: чтобы написать наше отображение, мы воспользовались не самим золотым сечением φ, а только уравнением на него, φ^2=φ+1. А у этого уравнения есть второй корень, φ'=-1/φ.
Поэтому если бы мы взяли Z[φ'] — мы получили бы то же самое отображение. А значит, оно сохраняет и прямую
a+b φ' = 0 – иными словами, прямую a-b/φ=0 —
переводя любую параллельную ей прямую
a+b φ' = C
в прямую из того же семейства
a+b φ' = -C/φ,
умножая C на φ'=(-1/φ).
a+b φ' = 0 – иными словами, прямую a-b/φ=0 —
переводя любую параллельную ей прямую
a+b φ' = C
в прямую из того же семейства
a+b φ' = -C/φ,
умножая C на φ'=(-1/φ).
И вот мы и получили две сохраняющиеся прямые — и знаем, что если мы их выберем в качестве новых осей координат, то наше отображение одну координату, (a+bφ), будет умножать на φ, а вторую, (a-b/φ) — на (-1/φ). И отсюда сразу видно, почему не просто отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению — а даже разность φF_n - F_{n+1} стремится к нулю: потому что на каждой итерации она умножается на (-1/φ).
Вот такая замена линейной алгебры на теорию чисел. Мне очень понравилось! (Хотя конечно, у Тома всё это было только ступенькой к тому, что ему на самом деле было нужно.)
Да, ещё — Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series выложили видеозапись лекции Дона Загира: https://youtu.be/BBJiDZ8Dr6A . По-моему, было очень круто (и я точно буду пересматривать).
Чуть-чуть исторического — читаю сейчас "стокгольмские лекции" Поля Пенлеве (Paul Painlevé) :
Математические байки
Photo
Уже титульный лист интересен — "по приглашению Его Величества короля Швеции и Норвегии"
Биография Пенлеве — тем более: математик, один из создателей аналитической теории дифференциальных уравнений, профессор... А также дважды премьер-министр Франции (причём первый раз — в 1917 году; мягко сказать, не самое простое время).
В скобках — мы сейчас отлично знаем великого математика Анри Пуанкаре; а его двоюродный брат, Раймон Пуанкаре, семь лет... проработал президентом Франции (с 1913 по 1920-й; так что первый раз премьером Пенлеве был при нём).
В скобках — мы сейчас отлично знаем великого математика Анри Пуанкаре; а его двоюродный брат, Раймон Пуанкаре, семь лет... проработал президентом Франции (с 1913 по 1920-й; так что первый раз премьером Пенлеве был при нём).
Математические байки
Photo
Введение к запискам стокгольмских лекций выглядит вполне обычно-типографски:
А вот сразу за содержанием (которое идёт в конце введения) начинается красота:
В самом конце стокгольских лекций Пенлеве обсуждает задачу n тел и доказывает, что в задаче трёх тел единственная проблема, которая может возникнуть с продолжимостью решения, это столкновение:
Казалось бы, а что тут такого удивительного, вроде как дифференциальное уравнение и будет продолжаться, пока "не сломается". Но если мы под "столкновением" понимаем, что при приближении к критическому моменту у всех положений тел предел есть, и у хотя бы двух из них он совпадает — то бывает не только это! Возможно, у положения наших материальных точек просто не будет предела в этот момент.