И на этом я завершаю рассказ про гипотезу Пенлеве.

Да, ещё последняя ссылка про гипотезу Пенлеве: есть хороший популярный текст 1995 года (то есть ещё до конструкции примера с четырьмя точками) — "Off to Infinity in Finite Time" в AMS Notices: https://www.ams.org/notices/199505/saari-2.pdf

А мой следующий большой рассказ будет про степени отображений и теорему Штурма. Но сначала — несколько картинок.

Во-первых — есть формула для суммы синусов или косинусов от арифметической прогрессии,
sin(a)+sin(a+d)+...+sin(a+n*d)
или
cos(a)+cos(a+d)+...+cos(a+n*d).
Школьными методами проще всего умножить на sin(d/2), после чего каждое произведение разваливается в разность косинусов/синусов, и получается телескопическая сумма, в которой почти всё сокращается.
Можно сказать, что обе эти суммы это мнимая и вещественная части суммы геометрической прогрессии
e^{ia} + e^{i(a+d)} + ... + e^{i(a+n*d)}
со знаменателем e^{id}, и применить формулу для такой суммы.
Получится (если дополнительно поделить числитель и знаменатель на e^{i d/2)} ) выражение

и вот в знаменателе 2i sin (d/2) и появляется.

Но Полина Вытнова показала мне совершенно классную картинку (отсюда):

Image credit: https://math.stackexchange.com/a/1607308 + https://trigonography.com/2016/01/10/trig-sums-with-angles-in-arithmetic-progression/

Мне кажется, картинка прекрасна — никакого другого текста, кроме уже имеющегося, не надо!

Второе — в этом канале уже появлялись несколько картинок М. Панова; вот тут коллеги выложили его анимации про параболу/эллипс/гиперболы как огибающие. Так вот, вот здесь с его картинками более развёрнутая презентация с текстом — мне кажется, совершенно потрясающая; я очень советую её пролистать (благо, что это быстро, а рассказ там очень простой и понятный — но не перестающий от этого быть очень красивым!).

Ну и я напомню, что эллипс/гипербола/парабола как огибающие (серединных) перпендикуляров возникают и в небесной механике!

https://youtu.be/1LwkljjLBns
https://youtu.be/cp6eudDomRY
https://youtu.be/r_KqR5tBekQ

«««
Soon after winning the Fields Medal in 1962, a young John Milnor gave these now-famous lectures and wrote his timeless Topology from the Differentiable Viewpoint, which has influenced generations of mathematicians. The lectures, filmed by the Mathematical Association of America (MAA), were unavailable for years but recently resurfaced. With Simons Foundation funding, the Mathematical Sciences Research Institute has produced these digital reproductions as a resource for the mathematics and science communities.

(…)

Lectures by John Milnor, Princeton University, Fall term 1958
Notes by James Munkres — https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/difftop.pdf
»»»

http://www.ams.org/notices/201106/rtx110600804p.pdf

«The sequel to these lectures, written several mathematical lives — and a Wolf and an Abel Prize later — is “Differential Topology Forty-six Years Later”»

Пара кадров из первой лекции. Вообще, очень интересно смотреть и слушать (в том числе — пойманный "дух эпохи").

Давайте я начну обещанный рассказ про степени отображений и про теорему Штурма.

Вот допустим, нам задан какой-нибудь многочлен. С явными — целыми или рациональными — коэффициентами, но не второй-третьей-ну допустим, четвёртой степени, а выше, так что никакой формулы для корней нет. Как можно узнать, сколько у него вещественных корней? Или — сколько у него корней на конкретном отрезке [a,b]?

Собственно, вот конкретный пример: рассмотрим многочлен
P(x) = 2 x^5 - 5 x^4 - 4 x^3 + 22 x^2 - 21 x + 6.
Сколько у него вещественных корней?

Так сразу не скажешь. Даже если построить график — точнее, попросить компьютер это сделать — тоже ответ не то, чтобы сразу очевиден:

Похоже, конечно, что корней три — а может, всё-таки пять, если где-то между 0 и 1.5 корней будет четыре, а не два?
Если сильно увеличить — то становится видно, что корней на том интервале всё-таки два (а всего тем самым три):

Но, скажем, если представить себе прописывание алгоритма для компьютера — то станет немного тоскливо. Потому что надо — выбрать мелкую сетку значений, посмотреть, сколько между ними перемен знака, проконтролировать, знаем ли мы, что на тех отрезках, где перемены знака нет, многочлен с разумной оценкой на производную (или на вторую производную) "не успевает" добежать до нуля и вернуться. А если может успеть — то подразбить интервал на более мелкие шаги, и так повторять "до победы".
И, кстати, на тех, где есть — тоже нужно быть уверенными, что там корень один, а не, скажем, три.
(И я тут ещё пропустил начальный шаг — проверку через алгоритма Евклида для вычисления НОД(P,P'), что у многочлена нет кратных корней; а если вдруг есть — то ещё и это нужно обрабатывать...)

Не то, чтобы написать было совсем неподъёмно — но как-то никакого энтузиазма не возникает. А главное, в таком виде это не получится "подружить" с разными другими применениями из алгебраической геометрии... (Забегая вперёд — с образами полуалгебраических множеств и теоремой об элиминации кванторов.)

Так вот — а нет ли какого-нибудь красивого способа это самое число вещественных корней найти? Оказывается, что есть, и именно это и есть теорема Штурма; и мы на неё сейчас посмотрим — с чуть более топологической точки зрения, чем её обычно рассказывают.

Но сначала — мне понадобится понятие степени отображения.
В простейшем варианте — если у нас есть отображение f:S^1\to S^1 из окружности в окружность, то можно спросить, какое число оборотов (с учётом знака) делает f(x) вдоль окружности-образа, когда x один раз пробегает окружность-прообраз. Это и есть степень deg f.

И как всегда, с ней есть общий принцип из топологии: "если что-то меняется непрерывно и принимает целые значения, то эта величина — константа". В данном случае — степень сохраняется, если отображение f непрерывно менять.