Предположим, что мы взяли материал с коэффициентом преломления (-1). Школьный курс физики должен вызывать ощущение, что это странно — в обычной ситуации коэффициент преломления должен быть не просто положительным, а больше единицы (ибо скорость света в среде и всё такое), но метаматериалы такие бывают (тут могла бы быть дискуссия о разных скоростях — фазовая скорость не равно скорость распространения информации — но давайте я не буду лезть в чужую область, а предложу — следуя Ольге — рассмотреть такую модель).
А теперь представим себе, что мы на плоскости взяли паркет, в котором часть плиток с коэффициентом преломления +1 ("воздух"), а другие — с коэффициентом преломления (-1).
Тогда закон преломления для луча света, летящего через такой паркет, будет гласить — при пересечении границы между плитками луч продолжается, отражаясь симметрично относительно этой границы.
Вполне забавная постановка — и тут появляются интересные эффекты.
Вполне забавная постановка — и тут появляются интересные эффекты.
Вот так луч проходит через несколько параллельных границ
А вот так — лучи могут отражаться вокруг точки, где сходятся шесть правильных треугольников.
Собственно, если взять паркет из правильных треугольников или из квадратов, то _все_ траектории замкнутся.
К такому бильярдный народ совершенно не привычен — а аналогия, которую тут приводила Ольга, это задача двух тел (если энергия достаточно небольшая, чтобы планета не улетела — то орбита будет периодической)
Вопрос — а что будет для других паркетов? Например — для паркета из неправильных треугольников?
Во-первых, бывают более сложные периодические траектории. И бывают траектории, линейно убегающие на бесконечность — периодичным или даже не-периодичным (с учётом сдвига) образом.
А может ли траектория быть неограниченной, но не убегать на бесконечность? Улетели на расстояние 100 от начальной точки, преломления её развернули, вернулись, улетели на расстояние 1000, развернулись, вернулись, и так далее?
Более того, траектория, просто два раза подряд вернувшаяся в один и тот же треугольник, уже обязана оказаться периодической — и зациклиться уже в этот момент. А если траектория периодическая, и её начальное условие чуть-чуть пошевелить (наклонить-сдвинуть), то она останется периодической.
И у этого есть очень простое и красивое объяснение. Дело в том, что простейший паркет из одинаковых треугольников можно "сложить" — складывая/отражая относительно каждого ребра.
Если говорить формально, то такое "складывание" это (не-взаимно-однозначное) непрерывное отображение из плоскости в плоскость, которое есть изометрия на каждом отдельном треугольнике, а на любые два соседних его ограничения отличаются на симметрию.
Если говорить формально, то такое "складывание" это (не-взаимно-однозначное) непрерывное отображение из плоскости в плоскость, которое есть изометрия на каждом отдельном треугольнике, а на любые два соседних его ограничения отличаются на симметрию.