Собственно, если взять паркет из правильных треугольников или из квадратов, то _все_ траектории замкнутся.

К такому бильярдный народ совершенно не привычен — а аналогия, которую тут приводила Ольга, это задача двух тел (если энергия достаточно небольшая, чтобы планета не улетела — то орбита будет периодической)

Вопрос — а что будет для других паркетов? Например — для паркета из неправильных треугольников?

И вот тут начинается интересное.

Во-первых, бывают более сложные периодические траектории. И бывают траектории, линейно убегающие на бесконечность — периодичным или даже не-периодичным (с учётом сдвига) образом.

А может ли траектория быть неограниченной, но не убегать на бесконечность? Улетели на расстояние 100 от начальной точки, преломления её развернули, вернулись, улетели на расстояние 1000, развернулись, вернулись, и так далее?

Оказывается, нет, не может!

Более того, траектория, просто два раза подряд вернувшаяся в один и тот же треугольник, уже обязана оказаться периодической — и зациклиться уже в этот момент. А если траектория периодическая, и её начальное условие чуть-чуть пошевелить (наклонить-сдвинуть), то она останется периодической.

И у этого есть очень простое и красивое объяснение. Дело в том, что простейший паркет из одинаковых треугольников можно "сложить" — складывая/отражая относительно каждого ребра.
Если говорить формально, то такое "складывание" это (не-взаимно-однозначное) непрерывное отображение из плоскости в плоскость, которое есть изометрия на каждом отдельном треугольнике, а на любые два соседних его ограничения отличаются на симметрию.

Но картинки тут, кажется, понятнее:

Так вот — магия состоит в том, что при таком складывании отрезки траектории луча переходят на одну и ту же прямую.

А тогда, вернувшись в какой-то треугольник, мы можем пересечь его только по тому же самому отрезку, что и в первый раз — ведь складывающее отображение (по индукции) всю траекторию переводит в одну прямую.

(Да, из ответвлений: мне ситуация, когда складывания переводят что-то в одну прямую, напомнила немного мультик "одним разрезом" — http://www.etudes.ru/ru/etudes/fold-cut-problem/ — но может быть, это далёкая ассоциация... Хотя, наверное, не так и безумно далёкая: если складывание уже есть, то разрезав по этой прямой ножницами/гильотиной, мы как раз путь луча и получим)

Вот всё и доказано. И в частности, траектория луча не может самопересечься — что совершенно не так, например, в бильярдах.