Более того, траектория, просто два раза подряд вернувшаяся в один и тот же треугольник, уже обязана оказаться периодической — и зациклиться уже в этот момент. А если траектория периодическая, и её начальное условие чуть-чуть пошевелить (наклонить-сдвинуть), то она останется периодической.
И у этого есть очень простое и красивое объяснение. Дело в том, что простейший паркет из одинаковых треугольников можно "сложить" — складывая/отражая относительно каждого ребра.
Если говорить формально, то такое "складывание" это (не-взаимно-однозначное) непрерывное отображение из плоскости в плоскость, которое есть изометрия на каждом отдельном треугольнике, а на любые два соседних его ограничения отличаются на симметрию.
Если говорить формально, то такое "складывание" это (не-взаимно-однозначное) непрерывное отображение из плоскости в плоскость, которое есть изометрия на каждом отдельном треугольнике, а на любые два соседних его ограничения отличаются на симметрию.
Так вот — магия состоит в том, что при таком складывании отрезки траектории луча переходят на одну и ту же прямую.
А тогда, вернувшись в какой-то треугольник, мы можем пересечь его только по тому же самому отрезку, что и в первый раз — ведь складывающее отображение (по индукции) всю траекторию переводит в одну прямую.
(Да, из ответвлений: мне ситуация, когда складывания переводят что-то в одну прямую, напомнила немного мультик "одним разрезом" — http://www.etudes.ru/ru/etudes/fold-cut-problem/ — но может быть, это далёкая ассоциация... Хотя, наверное, не так и безумно далёкая: если складывание уже есть, то разрезав по этой прямой ножницами/гильотиной, мы как раз путь луча и получим)
etudes.ru
Одним разрезом / Этюды // Математические этюды
На листе бумаги нарисовали произвольный многоугольник. Можно ли так сложить лист бумаги, чтобы вырезать многоугольник одним прямолинейным разрезом?
Математические байки
А тогда, вернувшись в какой-то треугольник, мы можем пересечь его только по тому же самому отрезку, что и в первый раз — ведь складывающее отображение (по индукции) всю траекторию переводит в одну прямую.
Вот всё и доказано. И в частности, траектория луча не может самопересечься — что совершенно не так, например, в бильярдах.
Но и это ещё не всё. Посмотрим ещё на периодические траектории:
Каждый раз множество вершин и рёбер, попавших внутрь траектории, образует дерево. Не бывает так, чтобы внутри содержался целый треугольник, куда траектория не заходила бы.
А всегда ли это так?
А всегда ли это так?
(Отсюда — https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02169195 )
hal.archives-ouvertes.fr
Trees and flowers on a billiard table
In this work we study the dynamics of triangle tiling billiards. We unite geometric and combinatorial approaches in order to prove several conjectures. In particular, we prove the Tree Conjecture and the 4n+2 Conjecture, both stated by Baird-Smith, Davis…
Доказательство. Любую траекторию (в частности, периодическую) можно включить в "слоение" плоскости: плоскость-образ после складывания можно нарезать на параллельные прямые, а потом взять полный прообраз этой нарезки. Получаются вот такие красивые картинки: