Так вот — магия состоит в том, что при таком складывании отрезки траектории луча переходят на одну и ту же прямую.

А тогда, вернувшись в какой-то треугольник, мы можем пересечь его только по тому же самому отрезку, что и в первый раз — ведь складывающее отображение (по индукции) всю траекторию переводит в одну прямую.

(Да, из ответвлений: мне ситуация, когда складывания переводят что-то в одну прямую, напомнила немного мультик "одним разрезом" — http://www.etudes.ru/ru/etudes/fold-cut-problem/ — но может быть, это далёкая ассоциация... Хотя, наверное, не так и безумно далёкая: если складывание уже есть, то разрезав по этой прямой ножницами/гильотиной, мы как раз путь луча и получим)

Вот всё и доказано. И в частности, траектория луча не может самопересечься — что совершенно не так, например, в бильярдах.

Но и это ещё не всё. Посмотрим ещё на периодические траектории:

Каждый раз множество вершин и рёбер, попавших внутрь траектории, образует дерево. Не бывает так, чтобы внутри содержался целый треугольник, куда траектория не заходила бы.
А всегда ли это так?

Теорема (Olga Paris-Romaskevich): Да, всегда.

(Отсюда — https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02169195 )

Доказательство. Любую траекторию (в частности, периодическую) можно включить в "слоение" плоскости: плоскость-образ после складывания можно нарезать на параллельные прямые, а потом взять полный прообраз этой нарезки. Получаются вот такие красивые картинки:

Но если есть периодическая траектория — можно её сдвигать "внутрь", пока не получится особая траектория — входящая и выходящая из какой-нибудь из вершин:

Назовём такую траекторию цветком (точнее, объединение всех траекторий слоения, проходящих через данную вершину: мы не можем говорить о траектории после входа в вершину).

Так вот — оказывается, что часть теоретически возможных вариантов поведения для цветка запрещена:

После чего можно запускать индукцию, сжимая и сжимая траекторию дальше (выкидывая вершину цветка) — мешали этому только запрещённые варианты.