Мне хочется воспроизвести тут полностью то, что Эйлер пишет в первом абзаце своей статьи:
===
До сих пор математики тщетно пытались обнаружить в последовательности простых чисел какой-либо порядок, и мы имеем все основания верить, что здесь существует какая-то тайна, в которую человеческий ум никогда не проникнет. Чтобы убедиться, следует только взглянуть на таблицу простых чисел, которую некоторые взяли на себя труд вычислить дальше чем до ста тысяч, и осознать, что здесь нет никакого порядка и никакого правила. Это тем более удивительно, что арифметика дает нам определенные правила, с помощью которых мы можем продолжать последовательность простых чисел сколь угодно далеко, не замечая, однако, ни малейшего следа порядка. Я сам, конечно, далек от этой цели, но мне удалось открыть чрезвычайно странный закон, управляющий последовательностью сумм делителей целых чисел, которая на первый взгляд кажется неправильной ровно в такой же степени, как и последовательность простых чисел, и которая в некотором смысле даже включает в себя эту последнюю. Этот закон, который я вскоре объясню, по моему мнению, тем более замечателен, что он имеет такую природу, что мы можем быть уверены в его справедливости, не давая ему безукоризненного доказательства. Тем не менее я представлю в его пользу такие доводы, которые можно рассматривать как почти равносильные строгому доказательству.
===
(цит. по: Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения, глава VI)
===
До сих пор математики тщетно пытались обнаружить в последовательности простых чисел какой-либо порядок, и мы имеем все основания верить, что здесь существует какая-то тайна, в которую человеческий ум никогда не проникнет. Чтобы убедиться, следует только взглянуть на таблицу простых чисел, которую некоторые взяли на себя труд вычислить дальше чем до ста тысяч, и осознать, что здесь нет никакого порядка и никакого правила. Это тем более удивительно, что арифметика дает нам определенные правила, с помощью которых мы можем продолжать последовательность простых чисел сколь угодно далеко, не замечая, однако, ни малейшего следа порядка. Я сам, конечно, далек от этой цели, но мне удалось открыть чрезвычайно странный закон, управляющий последовательностью сумм делителей целых чисел, которая на первый взгляд кажется неправильной ровно в такой же степени, как и последовательность простых чисел, и которая в некотором смысле даже включает в себя эту последнюю. Этот закон, который я вскоре объясню, по моему мнению, тем более замечателен, что он имеет такую природу, что мы можем быть уверены в его справедливости, не давая ему безукоризненного доказательства. Тем не менее я представлю в его пользу такие доводы, которые можно рассматривать как почти равносильные строгому доказательству.
===
(цит. по: Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения, глава VI)
Библиотека Mathedu.Ru
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — 1975 // Библиотека Mathedu.Ru
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / пер. с англ. И. А. Вайнштейна ; под ред. С. А. Яновской. — 2-е изд., испр. — М. : Наука, 1975. — 464 с. — Библиогр.: с. 463 и в прим.
Математические байки
Есть очень хороший рефлекс: "видишь длинное произведение — прологарифмируй!".
На самом деле, когда утверждение уже есть, его вывод из пентагональной теоремы очень естественен. Я очень люблю принцип "видишь длинное произведение — прологарифмируй!"; если прологарифмировать произведение
Q(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)...,
стоящее с одной из сторон равенства в пентагональной теореме, то получается сумма
ln Q(x) = \sum_d ln(1-x^d).
Если её теперь продифференцировать, то логарифмы исчезают, и остаётся
Q'(x)/Q(x) = \sum_d d*x^{d-1}/(1-x^d).
И если теперь домножить на x, то в правой части получается в точности производящая функция для σ(n)!
Q(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)...,
стоящее с одной из сторон равенства в пентагональной теореме, то получается сумма
ln Q(x) = \sum_d ln(1-x^d).
Если её теперь продифференцировать, то логарифмы исчезают, и остаётся
Q'(x)/Q(x) = \sum_d d*x^{d-1}/(1-x^d).
И если теперь домножить на x, то в правой части получается в точности производящая функция для σ(n)!
И давайте для следующего шага я приведу скриншот совсем из оригинала:
Математические байки
(https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6952c/f291.item )
Видно, каждая дробь dx^d/(1-x^d) как раз даёт вклад d в коэффициент при каждой степени x^n с n, делящимся на d — вот "по столбцам" и получается производящая функция для суммы делителей σ(n).
Ну и остаётся совсем ничего: если Q(x) это исходное произведение, а T(x) это производящая функция для σ(n), то пентагональная теорема утверждает, что
Q(x)= 1 -x -x^2 +x^5 +x^7 - ...,
а мы только что получили, что
xQ'(x)/Q(x) = T(x).
Если домножить на знаменатель — то получается
T(x)*Q(x)=xQ'(x).
И приравнивание коэффициентов при x^n как раз и даёт то самое рекуррентное соотношение на σ(n); а появление n вместо σ(0) происходит из-за правой части (где для [обобщённых] пятиугольных n коэффициент умножается на n).
Q(x)= 1 -x -x^2 +x^5 +x^7 - ...,
а мы только что получили, что
xQ'(x)/Q(x) = T(x).
Если домножить на знаменатель — то получается
T(x)*Q(x)=xQ'(x).
И приравнивание коэффициентов при x^n как раз и даёт то самое рекуррентное соотношение на σ(n); а появление n вместо σ(0) происходит из-за правой части (где для [обобщённых] пятиугольных n коэффициент умножается на n).
Но — поскольку на тот момент пентагональная теорема всё ещё не доказана, то в таком же статусе оказывается и рекуррентное соотношение: "таких совпадений не бывает", "так должно продолжаться и дальше", но формально не доказано.
Доказательство пентагональной теоремы Эйлер получит только ещё через несколько лет: в 1750-м он отправит его в письме Гольдбаху, а затем включит в статью "Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum", Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, p. 75-83.
Доказательство пентагональной теоремы Эйлер получит только ещё через несколько лет: в 1750-м он отправит его в письме Гольдбаху, а затем включит в статью "Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum", Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, p. 75-83.
Да, я тут основываюсь на статье J. Bell, A summary of Euler's work on the pentagonal number theorem, Archive for History of Exact Sciences,
Vol. 64, No. 3 (May 2010), pp. 301-373, —
и вот абзац с хронологией оттуда.
(А вот его же препринт на arXiv-е, правда, сильно более короткий; кстати — кажется, первый раз, когда я вижу в аннотации препринта версию на латыни.)
Vol. 64, No. 3 (May 2010), pp. 301-373, —
и вот абзац с хронологией оттуда.
(А вот его же препринт на arXiv-е, правда, сильно более короткий; кстати — кажется, первый раз, когда я вижу в аннотации препринта версию на латыни.)
Возвращаясь к доказательству самого Эйлера — на него можно смотреть несколькими способами. Давайте сначала посмотрим на то, как оно у Эйлера записано. Он начинает с того, что разлагает бесконечное произведение (1-x)(1-x^2)(1-x^3)... по последнему не-единичному сомножителю, вылезающему при раскрытии скобок:
Получается бесконечная сумма уже конечных произведений. Дальше Эйлер забирает "в итог" первые слагаемые 1-x, выносит x^2 из оставшегося, и раскрывает скобки у (1-x), на который они все делятся: