И давайте для следующего шага я приведу скриншот совсем из оригинала:

(https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6952c/f291.item )

Видно, каждая дробь dx^d/(1-x^d) как раз даёт вклад d в коэффициент при каждой степени x^n с n, делящимся на d — вот "по столбцам" и получается производящая функция для суммы делителей σ(n).

Ну и остаётся совсем ничего: если Q(x) это исходное произведение, а T(x) это производящая функция для σ(n), то пентагональная теорема утверждает, что
Q(x)= 1 -x -x^2 +x^5 +x^7 - ...,
а мы только что получили, что
xQ'(x)/Q(x) = T(x).
Если домножить на знаменатель — то получается
T(x)*Q(x)=xQ'(x).
И приравнивание коэффициентов при x^n как раз и даёт то самое рекуррентное соотношение на σ(n); а появление n вместо σ(0) происходит из-за правой части (где для [обобщённых] пятиугольных n коэффициент умножается на n).

Но — поскольку на тот момент пентагональная теорема всё ещё не доказана, то в таком же статусе оказывается и рекуррентное соотношение: "таких совпадений не бывает", "так должно продолжаться и дальше", но формально не доказано.

Доказательство пентагональной теоремы Эйлер получит только ещё через несколько лет: в 1750-м он отправит его в письме Гольдбаху, а затем включит в статью "Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum", Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, p. 75-83.

(5 лет от присланной статьи до публикации; хорошо, что Эйлеру не приходилось отчитываться публикациями по грантам!)

Да, я тут основываюсь на статье J. Bell, A summary of Euler's work on the pentagonal number theorem, Archive for History of Exact Sciences,
Vol. 64, No. 3 (May 2010), pp. 301-373, —
и вот абзац с хронологией оттуда.
(А вот его же препринт на arXiv-е, правда, сильно более короткий; кстати — кажется, первый раз, когда я вижу в аннотации препринта версию на латыни.)

Возвращаясь к доказательству самого Эйлера — на него можно смотреть несколькими способами. Давайте сначала посмотрим на то, как оно у Эйлера записано. Он начинает с того, что разлагает бесконечное произведение (1-x)(1-x^2)(1-x^3)... по последнему не-единичному сомножителю, вылезающему при раскрытии скобок:

Получается бесконечная сумма уже конечных произведений. Дальше Эйлер забирает "в итог" первые слагаемые 1-x, выносит x^2 из оставшегося, и раскрывает скобки у (1-x), на который они все делятся:

Удивительным образом, после такого раскрытия кусочек с (-x) из каждого слагаемого хорошо сокращается с кусочком 1 из следующего!

И Эйлер получает A как сумму конечных произведений похожего вида. Теперь можно "забрать в итог" 1-x^3 из A (после умножения на -x^2 они как раз дадут -x^2+x^5), и вынести за скобки x^5,
получая
A=1-x^3-x^5*B

Опять раскрываем первую скобку произведений (это 1-x^2), опять хорошо сокращается то, что из каждого слагаемого получается с (-x^2) с тем, что из следующего получается с 1 (Эйлер как раз их одно под другим пишет), опять получаем сумму конечных произведений.

Опять забираем "в итог" первые два слагаемых 1-x^5 из B, выносим за скобки x^8:
B=1-x^5-C*x^8.

Опять раскрываем в C первую скобку (1-x^3), опять всё хорошо сокращается, опять смотрим на сумму конечных произведений.

И так далее.

И тут уже понятно, как нужно формулировать утверждения (где там степени образуют арифметическую прогрессию с какой разностью) — и что как только последовательность утверждений правильно записать, мгновенно получится доказательство по индукции.

И вот итог — пентагональная теорема доказана!

Второй способ (чуть более современный взгляд) — я его увидел в статье G. Andrews, Euler's pentagonal number theorem, Mathematics Magazine 56 (1983), no. 5, 279-284 — состоит в том, чтобы рассмотреть такие суммы произведений, зависящие от двух переменных.