Возвращаясь к доказательству самого Эйлера — на него можно смотреть несколькими способами. Давайте сначала посмотрим на то, как оно у Эйлера записано. Он начинает с того, что разлагает бесконечное произведение (1-x)(1-x^2)(1-x^3)... по последнему не-единичному сомножителю, вылезающему при раскрытии скобок:

Получается бесконечная сумма уже конечных произведений. Дальше Эйлер забирает "в итог" первые слагаемые 1-x, выносит x^2 из оставшегося, и раскрывает скобки у (1-x), на который они все делятся:

Удивительным образом, после такого раскрытия кусочек с (-x) из каждого слагаемого хорошо сокращается с кусочком 1 из следующего!

И Эйлер получает A как сумму конечных произведений похожего вида. Теперь можно "забрать в итог" 1-x^3 из A (после умножения на -x^2 они как раз дадут -x^2+x^5), и вынести за скобки x^5,
получая
A=1-x^3-x^5*B

Опять раскрываем первую скобку произведений (это 1-x^2), опять хорошо сокращается то, что из каждого слагаемого получается с (-x^2) с тем, что из следующего получается с 1 (Эйлер как раз их одно под другим пишет), опять получаем сумму конечных произведений.

Опять забираем "в итог" первые два слагаемых 1-x^5 из B, выносим за скобки x^8:
B=1-x^5-C*x^8.

Опять раскрываем в C первую скобку (1-x^3), опять всё хорошо сокращается, опять смотрим на сумму конечных произведений.

И так далее.

И тут уже понятно, как нужно формулировать утверждения (где там степени образуют арифметическую прогрессию с какой разностью) — и что как только последовательность утверждений правильно записать, мгновенно получится доказательство по индукции.

И вот итог — пентагональная теорема доказана!

Второй способ (чуть более современный взгляд) — я его увидел в статье G. Andrews, Euler's pentagonal number theorem, Mathematics Magazine 56 (1983), no. 5, 279-284 — состоит в том, чтобы рассмотреть такие суммы произведений, зависящие от двух переменных.

(G. Andrews, Euler's pentagonal number theorem, Mathematics Magazine 56, 1983)

Тогда вынесение первых двух слагаемых и раскрытие первой скобки это функциональное уравнение:

(G. Andrews, Euler's pentagonal number theorem, Mathematics Magazine, vol. 56, 1983)

И ход доказательства Эйлера — это итеративное применение этого тождества.

Но третий, совершенно прекрасный, вероятностный взгляд на всё то же доказательство придумал Федя Петров. Он описан у него вот тут, но я всё-таки пару слов скажу.

Вот пусть у нас есть квадратики, в каждом из которых независимо может вырасти ёлка с вероятностью (1-x) (и, соответственно, он остаётся пустым с вероятностью x).

Тогда в прямоугольнике 1xn не вырастает ни одной ёлки с вероятностью x^n — соответственно, хоть одна вырастает с вероятностью (1-x^n).

А произведение s=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)... — это вероятность того, что ни один из прямоугольников размера 1x1, 1x2, 1x3,... не останется пустым!

Если смотреть на 1-s — то оно разбивается по тому, какой самый левый прямоугольник остался пустым. Либо это левая клетка (вклад x), либо пустых клеток хотя бы две (выносим x^2), а во всех прямоугольниках левее того есть хотя бы по одной ёлке (иначе бы это был не самый левый), и мы получаем бесконечную сумму конечных произведений конфигураций "вот тут ёлок нет, а вот в каждом из этих прямоугольников хотя бы одна есть".