https://etudes.ru/etudes/angle-trisection/

продолжаем тему математики механизмов — Мат. Этюды про шарнирный механизм для трисекции угла, про Кемпе и теорему о подписи

Приглашаем сегодня с 15-00 до 20-00 присоединяться к мини-конференции, посвящённой юбилею Пафнутия Львовича Чебышева! Лекции рассчитаны на студентов младших курсов и призваны популяризовать красивые и простые идеи П.Л. Чебышева. Подробности и регистрация: https://eimi.ru/chebyshev200

Другие популярные изложения и несколько занимательных фактов из биографии великого математика вы найдёте на его личной странице https://math-cs.spbu.ru/people/chebyshev-pafnutij-lvovich/

https://mathoverflow.net/q/1924/

«What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?»

(и действительно, много довольно неожиданных примеров)

via Дмитрий Швецов — Christophe Ritzenthaler выложил интервью с Жан-Пьером Серром (!); увы, по-французски, но там есть английские субтитры:
https://youtu.be/hPm7_x0DP8Q

Это немного оффтопик, но сегодня — частичное солнечное затмение:
https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2021-june-10

(Сразу: на Солнце нельзя!! смотреть без защиты! И даже солнечных очков недостаточно: они тоже на взгляд прямо на Солнце не рассчитаны!!)

Оптимальный способ наблюдения — делается дырочка (или несколько) в листе картона или плотной бумаги, и смотрится на тень от этого листа:
https://www.timeanddate.com/eclipse/make-pinhole-projector.html
Плюс такого наблюдения — безопасность: при таком наблюдении нет нужды смотреть даже вообще в сторону Солнца.
(Вот тут фотография тени дерева — где таких просветов в листве оказалось много: http://www.astronet.ru/db/msg/1162946 )

Москве, увы, сегодня не повезло с дождём, а вот, например, в Санкт-Петербурге (если прогноз не обманывает) погода хорошая — и можно наблюдать:
https://www.timeanddate.com/eclipse/in/russia/saint-peterburg

Париж: тень начала наползать...

Все дырочки дают одинаково "обкусанное" Солнце (на этой фотографии — снизу). Очень забавно, когда знаешь теоретически, что должно произойти, и что не согласуется с повседневным опытом: обычно-то от дырочек светлое пятно круглое, потому что это [перевёрнутый] образ Солнца — и оно так и происходит!

Проковырял ещё пару дырочек для более сильной картины тени 🙂

День Арнольда 2021
https://math.hse.ru/announcements/473200177.html

Традиционный День Арнольда, посвящённый 84-му дню рождения Владимира Игоревича Арнольда (12 июня 1937 г. – 3 июня 2010 г.), пройдет на факультете математики НИУ ВШЭ 15 июня 2021 г. для студентов и всех заинтересованных

В программе:

16:00 Арнольдовская лекция
Антон Владимирович Зорич (Национальный центр научных исследований, Франция):
"Long cycles in (a,b,c,d,...)-permutations and the structure of random square-tiled surfaces: a new life of an old Arnold's problem"

18:30 лекция Арнольдовского стипендиата
Екатерина Богданова (НИУ ВШЭ):
"p-адическое интегрирование"

В Дне Арнольда можно участвовать дистанционно:

1. на сайте НИУ ВШЭ будет прямая трансляция: www.live.hse.ru, канал Усачёва-427;
2. подключиться к конференции Zoom можно будет по ссылке, которую вы получите после регистрации.

Зарегистрироваться просим всех - независимо от выбранной вами формы участия: очно или онлайн: https://math.hse.ru/polls/473198169.html

12 июня – день рождения Владимира Игоревича Арнольда (12.06.1937–03.06.2010).

Напомним про автореферат его докторской диссертации. 1963 год, 2.5 страницы текста и ещё полстраницы списка литературы. Как и некоторые другие интересные документы, связанные с Владимиром Игоревичем, его можно найти на странице https://mccme.ru/arnold/, а чуть более современный скан представлен в этом посте.

Возьмём на себя ответственность опубликовать ещё два документа, хранящиеся в архиве Владимира Михайловича Тихомирова.

Скан научно-популярной статьи В.И. Арнольда о задаче Лидова «Упадёт ли Луна на Землю?». Не знаю, было ли это опубликовано.

Скан письма Владимира Игоревича его другу Андрею Анатольевичу Зализняку. Там нет ничего личного (почему и есть возможность опубликовать), зато хорошо чувствуется сам Владимир Игоревич: его широта знаний и интересов, и при этом внимание к мельчайшим деталям в совершенно разных областях.

Желающие могут найти сканы в посте в ВК: https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_2862

Поскольку недавно был 200-летний юбилей Чебышева — давайте я чуть-чуть расскажу о простых числах — и про его работы о них.

Среди первых 10 чисел есть 4 простых: 2, 3, 5, 7; среди первых 100 их 25, среди первой тысячи — 168, то есть их доля падает с 0.4 до 0.25 до 0.168 соответственно; и чем дальше, тем меньше эта доля простых становится. Собственно, это (на рукомахательном уровне) вполне логично: им нужно "избежать делимости" на всё большее и большее число меньших простых. А как более точно описать поведение количества простых?

Теорема об асимптотическом распределении простых чисел утверждает, что число π(n) простых, не превосходящих n, ведёт себя асимптотически как n/ln n.

Иными словами, доля простых от 1 до n ведёт себя как 1/ln n; или же можно сказать, что случайно выбранное число от 1 до n оказывается простым с вероятностью 1/ln n.

И доказали эту теорему строго в 1896 году Адамар и де ла Валле-Пуссен.

Началась же её история с предположений Лежандра и Гаусса примерно за сто лет до того; Лежандр, рассматривая таблицы простых чисел, пришёл к приближению вида
n/(A ln n + B ),
где A=1, B=-1.08366; Гаусс просто предположил ответ n/ln n, не публиковал его, но упомянул о нём много позже в письме Энке.
(Тут ещё есть имена — начиная с Дирихле — но я пока остановлюсь с историческими отсылками.) А я же собираюсь поговорить (в том числе) о том, что было посередине: о работах Чебышева "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины" (1848) и "О простых числах" (1850).
Обе эти работы есть в его "Избранных математических трудах", но прежде, чем на них посмотреть, давайте немного к поведению простых чисел "приноровимся".

Так вот — доля простых, конечно, стремится к 0. Но делает это очень медленно. Как 1/ln n. А натуральный логарифм, с точностью до постоянного множителя в ln 10 ≈ 2.30..., это практически количество цифр в записи числа. Так что, если мы возьмём числа от 1 до 10^{42} — нет, давайте его напишем полностью,
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
так вот, в этом интервале простое число примерно каждое сотое (и это с учётом того, что половина из чисел чётная, а из нечётных треть делится на 3!).
Так что число простых уменьшается медленно-медленно, и если достаточное число раз "потыкать" — и, что очень важно, уметь достаточно быстро проверять получающиеся числа на простоту! — то при разумном количестве попыток (в сравнении с количеством цифр) на простое число практически "нельзя не наткнуться".

Собственно, без этого бы не работало шифрование RSA — для него нужно придумать два больших простых числа, причём надо, чтобы их произведение не смог разложить на множители атакующий, располагающий большой вычислительной мощностью. Так что из разумного размера таблиц простых (допустим на секунду, что простых чисел оказалось бы значительно меньше) p и q брать было бы нельзя: атакующий просто взял бы эти же таблицы и перебрал варианты пар чисел в них. А так — можно "потыкать-потыкать в случайные числа нужного размера, пока не наткнёшься на простое".

И кстати — давайте я порекламирую ролик Numberphile про герб Trinity Hall (кстати — это не Trinity College, у Тринити Холла на две сотни лет истории больше!). Там в качестве подарка один из выпускников, J. F. McKee, нашёл простое число, рисующее герб Trinity Hall псевдографикой!
(Кстати, в этом же ролике ещё и совершенно прекрасный Тадаси Токиеда (Tadashi Tokieda), но это уже тема для отдельного рассказа!)

Image credit: Numberphile, "The Trinity Hall Prime"