Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mathoverflow.net/q/1924/
«What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?»
(и действительно, много довольно неожиданных примеров)
«What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?»
(и действительно, много довольно неожиданных примеров)
MathOverflow
What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC?
Every now and then, somebody will tell me about a question. When I start thinking about it, they say, "actually, it's undecidable in ZFC."
For example, suppose $A$ is an abelian group suc...
For example, suppose $A$ is an abelian group suc...
via Дмитрий Швецов — Christophe Ritzenthaler выложил интервью с Жан-Пьером Серром (!); увы, по-французски, но там есть английские субтитры:
https://youtu.be/hPm7_x0DP8Q
https://youtu.be/hPm7_x0DP8Q
Это немного оффтопик, но сегодня — частичное солнечное затмение:
https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2021-june-10
(Сразу: на Солнце нельзя!! смотреть без защиты! И даже солнечных очков недостаточно: они тоже на взгляд прямо на Солнце не рассчитаны!!)
Оптимальный способ наблюдения — делается дырочка (или несколько) в листе картона или плотной бумаги, и смотрится на тень от этого листа:
https://www.timeanddate.com/eclipse/make-pinhole-projector.html
Плюс такого наблюдения — безопасность: при таком наблюдении нет нужды смотреть даже вообще в сторону Солнца.
(Вот тут фотография тени дерева — где таких просветов в листве оказалось много: http://www.astronet.ru/db/msg/1162946 )
Москве, увы, сегодня не повезло с дождём, а вот, например, в Санкт-Петербурге (если прогноз не обманывает) погода хорошая — и можно наблюдать:
https://www.timeanddate.com/eclipse/in/russia/saint-peterburg
https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2021-june-10
(Сразу: на Солнце нельзя!! смотреть без защиты! И даже солнечных очков недостаточно: они тоже на взгляд прямо на Солнце не рассчитаны!!)
Оптимальный способ наблюдения — делается дырочка (или несколько) в листе картона или плотной бумаги, и смотрится на тень от этого листа:
https://www.timeanddate.com/eclipse/make-pinhole-projector.html
Плюс такого наблюдения — безопасность: при таком наблюдении нет нужды смотреть даже вообще в сторону Солнца.
(Вот тут фотография тени дерева — где таких просветов в листве оказалось много: http://www.astronet.ru/db/msg/1162946 )
Москве, увы, сегодня не повезло с дождём, а вот, например, в Санкт-Петербурге (если прогноз не обманывает) погода хорошая — и можно наблюдать:
https://www.timeanddate.com/eclipse/in/russia/saint-peterburg
Timeanddate
Annular Solar Eclipse on 10 June 2021
Annular solar eclipse on Thursday, 10 June 2021: Where and when is the Sun eclipse visible? Path map, animation, and local times.
Математические байки
Photo
Все дырочки дают одинаково "обкусанное" Солнце (на этой фотографии — снизу). Очень забавно, когда знаешь теоретически, что должно произойти, и что не согласуется с повседневным опытом: обычно-то от дырочек светлое пятно круглое, потому что это [перевёрнутый] образ Солнца — и оно так и происходит!
Математические байки
Photo
Проковырял ещё пару дырочек для более сильной картины тени 🙂
Forwarded from trvscience / Троицкий вариант
День Арнольда 2021
https://math.hse.ru/announcements/473200177.html
Традиционный День Арнольда, посвящённый 84-му дню рождения Владимира Игоревича Арнольда (12 июня 1937 г. – 3 июня 2010 г.), пройдет на факультете математики НИУ ВШЭ 15 июня 2021 г. для студентов и всех заинтересованных
В программе:
16:00 Арнольдовская лекция
Антон Владимирович Зорич (Национальный центр научных исследований, Франция):
"Long cycles in (a,b,c,d,...)-permutations and the structure of random square-tiled surfaces: a new life of an old Arnold's problem"
18:30 лекция Арнольдовского стипендиата
Екатерина Богданова (НИУ ВШЭ):
"p-адическое интегрирование"
В Дне Арнольда можно участвовать дистанционно:
1. на сайте НИУ ВШЭ будет прямая трансляция: www.live.hse.ru, канал Усачёва-427;
2. подключиться к конференции Zoom можно будет по ссылке, которую вы получите после регистрации.
Зарегистрироваться просим всех - независимо от выбранной вами формы участия: очно или онлайн: https://math.hse.ru/polls/473198169.html
https://math.hse.ru/announcements/473200177.html
Традиционный День Арнольда, посвящённый 84-му дню рождения Владимира Игоревича Арнольда (12 июня 1937 г. – 3 июня 2010 г.), пройдет на факультете математики НИУ ВШЭ 15 июня 2021 г. для студентов и всех заинтересованных
В программе:
16:00 Арнольдовская лекция
Антон Владимирович Зорич (Национальный центр научных исследований, Франция):
"Long cycles in (a,b,c,d,...)-permutations and the structure of random square-tiled surfaces: a new life of an old Arnold's problem"
18:30 лекция Арнольдовского стипендиата
Екатерина Богданова (НИУ ВШЭ):
"p-адическое интегрирование"
В Дне Арнольда можно участвовать дистанционно:
1. на сайте НИУ ВШЭ будет прямая трансляция: www.live.hse.ru, канал Усачёва-427;
2. подключиться к конференции Zoom можно будет по ссылке, которую вы получите после регистрации.
Зарегистрироваться просим всех - независимо от выбранной вами формы участия: очно или онлайн: https://math.hse.ru/polls/473198169.html
math.hse.ru
День Арнольда 2021
Традиционный День Арнольда, посвящённый 84-му дню рождения Владимира Игоревича Арнольда (12 июня 1937 г. – 3 июня 2010 г.), пройдет на факультете математики НИУ ВШЭ 15 июня 2021 г.
Forwarded from Математические этюды
12 июня – день рождения Владимира Игоревича Арнольда (12.06.1937–03.06.2010).
Напомним про автореферат его докторской диссертации. 1963 год, 2.5 страницы текста и ещё полстраницы списка литературы. Как и некоторые другие интересные документы, связанные с Владимиром Игоревичем, его можно найти на странице https://mccme.ru/arnold/, а чуть более современный скан представлен в этом посте.
Возьмём на себя ответственность опубликовать ещё два документа, хранящиеся в архиве Владимира Михайловича Тихомирова.
Скан научно-популярной статьи В.И. Арнольда о задаче Лидова «Упадёт ли Луна на Землю?». Не знаю, было ли это опубликовано.
Скан письма Владимира Игоревича его другу Андрею Анатольевичу Зализняку. Там нет ничего личного (почему и есть возможность опубликовать), зато хорошо чувствуется сам Владимир Игоревич: его широта знаний и интересов, и при этом внимание к мельчайшим деталям в совершенно разных областях.
Желающие могут найти сканы в посте в ВК: https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_2862
Напомним про автореферат его докторской диссертации. 1963 год, 2.5 страницы текста и ещё полстраницы списка литературы. Как и некоторые другие интересные документы, связанные с Владимиром Игоревичем, его можно найти на странице https://mccme.ru/arnold/, а чуть более современный скан представлен в этом посте.
Возьмём на себя ответственность опубликовать ещё два документа, хранящиеся в архиве Владимира Михайловича Тихомирова.
Скан научно-популярной статьи В.И. Арнольда о задаче Лидова «Упадёт ли Луна на Землю?». Не знаю, было ли это опубликовано.
Скан письма Владимира Игоревича его другу Андрею Анатольевичу Зализняку. Там нет ничего личного (почему и есть возможность опубликовать), зато хорошо чувствуется сам Владимир Игоревич: его широта знаний и интересов, и при этом внимание к мельчайшим деталям в совершенно разных областях.
Желающие могут найти сканы в посте в ВК: https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_2862
Поскольку недавно был 200-летний юбилей Чебышева — давайте я чуть-чуть расскажу о простых числах — и про его работы о них.
Среди первых 10 чисел есть 4 простых: 2, 3, 5, 7; среди первых 100 их 25, среди первой тысячи — 168, то есть их доля падает с 0.4 до 0.25 до 0.168 соответственно; и чем дальше, тем меньше эта доля простых становится. Собственно, это (на рукомахательном уровне) вполне логично: им нужно "избежать делимости" на всё большее и большее число меньших простых. А как более точно описать поведение количества простых?
Теорема об асимптотическом распределении простых чисел утверждает, что число π(n) простых, не превосходящих n, ведёт себя асимптотически как n/ln n.
Иными словами, доля простых от 1 до n ведёт себя как 1/ln n; или же можно сказать, что случайно выбранное число от 1 до n оказывается простым с вероятностью 1/ln n.
И доказали эту теорему строго в 1896 году Адамар и де ла Валле-Пуссен.
Началась же её история с предположений Лежандра и Гаусса примерно за сто лет до того; Лежандр, рассматривая таблицы простых чисел, пришёл к приближению вида
n/(A ln n + B ),
где A=1, B=-1.08366; Гаусс просто предположил ответ n/ln n, не публиковал его, но упомянул о нём много позже в письме Энке.
(Тут ещё есть имена — начиная с Дирихле — но я пока остановлюсь с историческими отсылками.) А я же собираюсь поговорить (в том числе) о том, что было посередине: о работах Чебышева "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины" (1848) и "О простых числах" (1850).
Обе эти работы есть в его "Избранных математических трудах", но прежде, чем на них посмотреть, давайте немного к поведению простых чисел "приноровимся".
Среди первых 10 чисел есть 4 простых: 2, 3, 5, 7; среди первых 100 их 25, среди первой тысячи — 168, то есть их доля падает с 0.4 до 0.25 до 0.168 соответственно; и чем дальше, тем меньше эта доля простых становится. Собственно, это (на рукомахательном уровне) вполне логично: им нужно "избежать делимости" на всё большее и большее число меньших простых. А как более точно описать поведение количества простых?
Теорема об асимптотическом распределении простых чисел утверждает, что число π(n) простых, не превосходящих n, ведёт себя асимптотически как n/ln n.
Иными словами, доля простых от 1 до n ведёт себя как 1/ln n; или же можно сказать, что случайно выбранное число от 1 до n оказывается простым с вероятностью 1/ln n.
И доказали эту теорему строго в 1896 году Адамар и де ла Валле-Пуссен.
Началась же её история с предположений Лежандра и Гаусса примерно за сто лет до того; Лежандр, рассматривая таблицы простых чисел, пришёл к приближению вида
n/(A ln n + B ),
где A=1, B=-1.08366; Гаусс просто предположил ответ n/ln n, не публиковал его, но упомянул о нём много позже в письме Энке.
(Тут ещё есть имена — начиная с Дирихле — но я пока остановлюсь с историческими отсылками.) А я же собираюсь поговорить (в том числе) о том, что было посередине: о работах Чебышева "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины" (1848) и "О простых числах" (1850).
Обе эти работы есть в его "Избранных математических трудах", но прежде, чем на них посмотреть, давайте немного к поведению простых чисел "приноровимся".
Так вот — доля простых, конечно, стремится к 0. Но делает это очень медленно. Как 1/ln n. А натуральный логарифм, с точностью до постоянного множителя в ln 10 ≈ 2.30..., это практически количество цифр в записи числа. Так что, если мы возьмём числа от 1 до 10^{42} — нет, давайте его напишем полностью,
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
так вот, в этом интервале простое число примерно каждое сотое (и это с учётом того, что половина из чисел чётная, а из нечётных треть делится на 3!).
Так что число простых уменьшается медленно-медленно, и если достаточное число раз "потыкать" — и, что очень важно, уметь достаточно быстро проверять получающиеся числа на простоту! — то при разумном количестве попыток (в сравнении с количеством цифр) на простое число практически "нельзя не наткнуться".
Собственно, без этого бы не работало шифрование RSA — для него нужно придумать два больших простых числа, причём надо, чтобы их произведение не смог разложить на множители атакующий, располагающий большой вычислительной мощностью. Так что из разумного размера таблиц простых (допустим на секунду, что простых чисел оказалось бы значительно меньше) p и q брать было бы нельзя: атакующий просто взял бы эти же таблицы и перебрал варианты пар чисел в них. А так — можно "потыкать-потыкать в случайные числа нужного размера, пока не наткнёшься на простое".
И кстати — давайте я порекламирую ролик Numberphile про герб Trinity Hall (кстати — это не Trinity College, у Тринити Холла на две сотни лет истории больше!). Там в качестве подарка один из выпускников, J. F. McKee, нашёл простое число, рисующее герб Trinity Hall псевдографикой!
(Кстати, в этом же ролике ещё и совершенно прекрасный Тадаси Токиеда (Tadashi Tokieda), но это уже тема для отдельного рассказа!)
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
так вот, в этом интервале простое число примерно каждое сотое (и это с учётом того, что половина из чисел чётная, а из нечётных треть делится на 3!).
Так что число простых уменьшается медленно-медленно, и если достаточное число раз "потыкать" — и, что очень важно, уметь достаточно быстро проверять получающиеся числа на простоту! — то при разумном количестве попыток (в сравнении с количеством цифр) на простое число практически "нельзя не наткнуться".
Собственно, без этого бы не работало шифрование RSA — для него нужно придумать два больших простых числа, причём надо, чтобы их произведение не смог разложить на множители атакующий, располагающий большой вычислительной мощностью. Так что из разумного размера таблиц простых (допустим на секунду, что простых чисел оказалось бы значительно меньше) p и q брать было бы нельзя: атакующий просто взял бы эти же таблицы и перебрал варианты пар чисел в них. А так — можно "потыкать-потыкать в случайные числа нужного размера, пока не наткнёшься на простое".
И кстати — давайте я порекламирую ролик Numberphile про герб Trinity Hall (кстати — это не Trinity College, у Тринити Холла на две сотни лет истории больше!). Там в качестве подарка один из выпускников, J. F. McKee, нашёл простое число, рисующее герб Trinity Hall псевдографикой!
(Кстати, в этом же ролике ещё и совершенно прекрасный Тадаси Токиеда (Tadashi Tokieda), но это уже тема для отдельного рассказа!)
Image credit: Numberphile, "The Trinity Hall Prime"
Математические байки
Поскольку недавно был 200-летний юбилей Чебышева — давайте я чуть-чуть расскажу о простых числах — и про его работы о них. Среди первых 10 чисел есть 4 простых: 2, 3, 5, 7; среди первых 100 их 25, среди первой тысячи — 168, то есть их доля падает с 0.4 до…
Продолжим?
Мы в прошлый раз посмотрели на то, как доля простых чисел от 1 до n с ростом n уменьшается: как 1/ln n, так что, с одной стороны, она стремится к нулю — но с другой, делает это очень медленно (ибо логарифм это практически количество цифр в записи n, только умноженное на ln 10 ≈ 2.3).
Давайте теперь сделаем один шаг в переформулировке асимптотического закона: вместо того, чтобы считать простые числа "поштучно", посчитаем сумму их логарифмов. А именно — рассмотрим функцию
θ(x) = \sum_{p<=x} ln p.
Так вот, эквивалентная форма асимптотического закона распределения простых чисел, это что θ(x)~x. Потому что, опять же, логарифм меняется медленно-медленно. И, например, доля тех чисел от 1 до n, у кого логарифм меньше логарифма n хотя бы на 5% (или на 1%, или вообще на любую фиксированную величину) — стремится к 0 (потому что это 1/n^0.05, или 1/n^0.01, или...), так что ими можно пренебречь. Так что складывать ln p или умножить количество простых на ln n — почти одно и то же.
А в таком виде на это чуть приятнее смотреть. Например, потому что стоит сумма логарифмов простых чисел — то есть логарифм их произведения. Так что θ(n) — это логарифм произведения всех простых чисел, не превосходящих n.
Мы в прошлый раз посмотрели на то, как доля простых чисел от 1 до n с ростом n уменьшается: как 1/ln n, так что, с одной стороны, она стремится к нулю — но с другой, делает это очень медленно (ибо логарифм это практически количество цифр в записи n, только умноженное на ln 10 ≈ 2.3).
Давайте теперь сделаем один шаг в переформулировке асимптотического закона: вместо того, чтобы считать простые числа "поштучно", посчитаем сумму их логарифмов. А именно — рассмотрим функцию
θ(x) = \sum_{p<=x} ln p.
Так вот, эквивалентная форма асимптотического закона распределения простых чисел, это что θ(x)~x. Потому что, опять же, логарифм меняется медленно-медленно. И, например, доля тех чисел от 1 до n, у кого логарифм меньше логарифма n хотя бы на 5% (или на 1%, или вообще на любую фиксированную величину) — стремится к 0 (потому что это 1/n^0.05, или 1/n^0.01, или...), так что ими можно пренебречь. Так что складывать ln p или умножить количество простых на ln n — почти одно и то же.
А в таком виде на это чуть приятнее смотреть. Например, потому что стоит сумма логарифмов простых чисел — то есть логарифм их произведения. Так что θ(n) — это логарифм произведения всех простых чисел, не превосходящих n.
Ещё вместо произведения всех простых, не превосходящих n, можно взять наименьшее общее кратное N всех чисел от 1 до n — и посмотреть на его логарифм. В разложение этого НОКа N в произведение простых все простые, не большие n, попадают — но некоторые в степени, большей 1. А именно — каждое простое p входит в разложение N в той максимальной степени, в которой оно ещё не превосходит n. Поэтому его логарифм можно записать так:
ln N = \sum_{p,k: p^k<=n} ln p
(как раз каждое слагаемое ln p появляется нужное число раз)
Так вот — это и есть то, как определяется функция Чебышева ψ(x):
ψ(x):= \sum_{p,k: p^k<=x} ln p.
И ещё одна эквивалентная переформулировка асимптотического закона распределения простых чисел — это что ψ(x)~x. Потому что разница между ψ(x) и θ(x) в реальности пренебрежимо мала — она складывается только из тех простых p, которые не превосходят квадратного корня из x, а вклад каждого такого p не больше произведения
(ln n/ln p)*ln p = ln n,
то есть всего лишь логарифма ln n — "копеечный".
ln N = \sum_{p,k: p^k<=n} ln p
(как раз каждое слагаемое ln p появляется нужное число раз)
Так вот — это и есть то, как определяется функция Чебышева ψ(x):
ψ(x):= \sum_{p,k: p^k<=x} ln p.
И ещё одна эквивалентная переформулировка асимптотического закона распределения простых чисел — это что ψ(x)~x. Потому что разница между ψ(x) и θ(x) в реальности пренебрежимо мала — она складывается только из тех простых p, которые не превосходят квадратного корня из x, а вклад каждого такого p не больше произведения
(ln n/ln p)*ln p = ln n,
то есть всего лишь логарифма ln n — "копеечный".
Собственно, если вернуться к нашему примеру с n=10^42 —
n= 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
то там разница лишь для p<10^21,
p<1.000.000.000.000.000.000.000,
а вклад каждого такого p не больше ln n<100. Так что разница ψ(n)-θ(n) не превосходит
100.000.000.000.000.000.000.000,
что на 19 порядков меньше, чем их предсказываемое асимптотическим законом распределения значение — быть сравнимыми с n.
n= 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
то там разница лишь для p<10^21,
p<1.000.000.000.000.000.000.000,
а вклад каждого такого p не больше ln n<100. Так что разница ψ(n)-θ(n) не превосходит
100.000.000.000.000.000.000.000,
что на 19 порядков меньше, чем их предсказываемое асимптотическим законом распределения значение — быть сравнимыми с n.
И давайте я выложу сюда иллюстрацию из статьи "Обманчивая простота простых чисел" М. Королева в "Кванте", No.3 за 2020-й год.
Чтобы проиллюстрировать, что мы идём не совсем не туда — один кусочек из статьи "О простых числах" Чебышева. С одной стороны, формула выглядит довольно жутко (будем честны, я выбрал не самое простое место его статьи) — но с другой, мы уже видим, из каких частей её левая часть состоит, а скоро поймём и откуда тут что берётся.