Продолжим?
Мы в прошлый раз посмотрели на то, как доля простых чисел от 1 до n с ростом n уменьшается: как 1/ln n, так что, с одной стороны, она стремится к нулю — но с другой, делает это очень медленно (ибо логарифм это практически количество цифр в записи n, только умноженное на ln 10 ≈ 2.3).

Давайте теперь сделаем один шаг в переформулировке асимптотического закона: вместо того, чтобы считать простые числа "поштучно", посчитаем сумму их логарифмов. А именно — рассмотрим функцию
θ(x) = \sum_{p<=x} ln p.

Так вот, эквивалентная форма асимптотического закона распределения простых чисел, это что θ(x)~x. Потому что, опять же, логарифм меняется медленно-медленно. И, например, доля тех чисел от 1 до n, у кого логарифм меньше логарифма n хотя бы на 5% (или на 1%, или вообще на любую фиксированную величину) — стремится к 0 (потому что это 1/n^0.05, или 1/n^0.01, или...), так что ими можно пренебречь. Так что складывать ln p или умножить количество простых на ln n — почти одно и то же.

А в таком виде на это чуть приятнее смотреть. Например, потому что стоит сумма логарифмов простых чисел — то есть логарифм их произведения. Так что θ(n) — это логарифм произведения всех простых чисел, не превосходящих n.

Ещё вместо произведения всех простых, не превосходящих n, можно взять наименьшее общее кратное N всех чисел от 1 до n — и посмотреть на его логарифм. В разложение этого НОКа N в произведение простых все простые, не большие n, попадают — но некоторые в степени, большей 1. А именно — каждое простое p входит в разложение N в той максимальной степени, в которой оно ещё не превосходит n. Поэтому его логарифм можно записать так:
ln N = \sum_{p,k: p^k<=n} ln p
(как раз каждое слагаемое ln p появляется нужное число раз)
Так вот — это и есть то, как определяется функция Чебышева ψ(x):
ψ(x):= \sum_{p,k: p^k<=x} ln p.

И ещё одна эквивалентная переформулировка асимптотического закона распределения простых чисел — это что ψ(x)~x. Потому что разница между ψ(x) и θ(x) в реальности пренебрежимо мала — она складывается только из тех простых p, которые не превосходят квадратного корня из x, а вклад каждого такого p не больше произведения
(ln n/ln p)*ln p = ln n,
то есть всего лишь логарифма ln n — "копеечный".

Собственно, если вернуться к нашему примеру с n=10^42 —
n= 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
то там разница лишь для p<10^21,
p<1.000.000.000.000.000.000.000,
а вклад каждого такого p не больше ln n<100. Так что разница ψ(n)-θ(n) не превосходит
100.000.000.000.000.000.000.000,
что на 19 порядков меньше, чем их предсказываемое асимптотическим законом распределения значение — быть сравнимыми с n.

И давайте я выложу сюда иллюстрацию из статьи "Обманчивая простота простых чисел" М. Королева в "Кванте", No.3 за 2020-й год.

Чтобы проиллюстрировать, что мы идём не совсем не туда — один кусочек из статьи "О простых числах" Чебышева. С одной стороны, формула выглядит довольно жутко (будем честны, я выбрал не самое простое место его статьи) — но с другой, мы уже видим, из каких частей её левая часть состоит, а скоро поймём и откуда тут что берётся.

Николай Николаевич Константинов (02.01.1932–04.07.2021)

выдающийся организатор математического образования, один из создателей системы мат. классов в Москве, Турнира Городов и Турнира Ломоносова…

«Есть знаменитая фраза из письма Пушкина Бенкендорфу, когда он пишет, что “имел на всё сословие литераторов гораздо более влияния, чем министерство, несмотря на неизмеримое неравенство средств”. Примерно то же самое мог бы — с полным правом — сказать Н. Н. Константинов про советское (российское) математическое образование высокого уровня…»

https://youtu.be/jvOqg4obXvo

лекция И.М.Кричевера на ЛШСМ-2021 сейчас

https://youtu.be/x_g63q72XDQ

в 15:30 планируется трансляция лекции «Как растут кристаллы и кораллы» С.К.Смирнова на ЛШСМ-2021

21 июля планируются трансляции двух лекций ЛШСМ-2021

https://youtu.be/5XrVptud7JE
в 11:15 А.П.Веселов. Математика алмазных упаковок

https://youtu.be/CiVhV9mt5fU
в 15:30 И.А.Дынников. Слова Арну-Рози

Про Веселова — мне ещё хочется порекламировать (запись) его потрясающей лекции "Магия марковских троек":
http://www.mathnet.ru/present17717

А вот фотография объекта с лекции Ольги Парис-Ромаскевич (буквально месяц назад в CIRM-е) — насколько я понимаю, связанного с тем, что будет в завтрашней лекции И. А. Дынникова.

А вот комментарий про этот объект (точнее, про его верхнюю поверхность; а сам объект заслуживает отдельного рассказа!).

мы продолжаем

https://youtu.be/AFF5fMpnObk
22.07, 11:15 А.А.Гайфуллин. Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

https://youtu.be/sDlhukK8TH8
22.07, 17:15 Д.О.Орлов. ABC-гипотеза и ее следствия

А в дополнение — мне хочется вспомнить (и порекламировать) курс Гайфуллина с ЛШСМ-2018:
https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2859

продолжаются лекции ЛШСМ-2021

https://youtu.be/GgcnKL0sCQQ
25.07, 09:30 В.Ю.Протасов. Замощения пространства и сжатие информации

https://youtu.be/X-rCgR9fPdM
26.07, 17:15 М.А.Цфасман. Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров

https://youtu.be/B6RM6-P2ors
27.07, 09:30 Л.Д.Беклемишев. Модели и интерпретации

https://youtu.be/iKVxgvaJlGU
27.07, 15:30 С.Я.Житомирская. Электрон на решетке в магнитном поле и арифметические спектральные переходы

Лекция Цфасмана -- идет прямо сейчас.

Нерегулярная рубрика "новости ЛШСМ": Thomas Fernique привёз на школу куб.

При его открытии внутри обнаруживается... случайно выбранная (при создании куба) трёхмерная диаграмма Юнга = упаковка микро-кубиков, содержащаяся внутри большого куба = разбиение треугольной решётки на ромбики:

И тут виден "полярный круг" для разбиения большого шестиугольника на ромбики — такой же, как для ацтекского бриллианта. Вот, собственно, коллеги про такое пишут —

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.

А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

На preview это не очень видно, но в "обкусанном шестиугольнике" предельной формой оказывается "сердце"; давайте я его тут тоже приведу (image credit: R. Kenyon, A. Okounkov, Notices of the AMS, "What is... a dimer?")