А вот комментарий про этот объект (точнее, про его верхнюю поверхность; а сам объект заслуживает отдельного рассказа!).

мы продолжаем

https://youtu.be/AFF5fMpnObk
22.07, 11:15 А.А.Гайфуллин. Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

https://youtu.be/sDlhukK8TH8
22.07, 17:15 Д.О.Орлов. ABC-гипотеза и ее следствия

А в дополнение — мне хочется вспомнить (и порекламировать) курс Гайфуллина с ЛШСМ-2018:
https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2859

продолжаются лекции ЛШСМ-2021

https://youtu.be/GgcnKL0sCQQ
25.07, 09:30 В.Ю.Протасов. Замощения пространства и сжатие информации

https://youtu.be/X-rCgR9fPdM
26.07, 17:15 М.А.Цфасман. Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров

https://youtu.be/B6RM6-P2ors
27.07, 09:30 Л.Д.Беклемишев. Модели и интерпретации

https://youtu.be/iKVxgvaJlGU
27.07, 15:30 С.Я.Житомирская. Электрон на решетке в магнитном поле и арифметические спектральные переходы

Лекция Цфасмана -- идет прямо сейчас.

Нерегулярная рубрика "новости ЛШСМ": Thomas Fernique привёз на школу куб.

При его открытии внутри обнаруживается... случайно выбранная (при создании куба) трёхмерная диаграмма Юнга = упаковка микро-кубиков, содержащаяся внутри большого куба = разбиение треугольной решётки на ромбики:

И тут виден "полярный круг" для разбиения большого шестиугольника на ромбики — такой же, как для ацтекского бриллианта. Вот, собственно, коллеги про такое пишут —

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.

А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

На preview это не очень видно, но в "обкусанном шестиугольнике" предельной формой оказывается "сердце"; давайте я его тут тоже приведу (image credit: R. Kenyon, A. Okounkov, Notices of the AMS, "What is... a dimer?")

А вот тут полярный круг для разбиения на ромбики большого шестиугольника — в свежей (и подробной!) книге В. Горина "Lectures on random lozenge tilings",
https://people.math.wisc.edu/~vadicgor/Random_tilings.pdf
Собственно, методу steepest descent меня научил именно Вадим — надо будет записать пересказ-иллюстрацию, как с его помощью оцениваются биномиальные коэффициенты, получается очень симпатично.

А ещё можно смотреть на по-разному обкусанные шестиугольники, и в зависимости от "обкусывания" (что логично) будет меняться предельная форма. Вот тут — https://lpetrov.cc/dubna2019/ — лежат записки курса Л. Петрова в (допандемийной! кажется, это было давным-давно...) ЛШСМ-2019 — который заканчивался его свежей работой про "откручивание времени назад" для TASEP.
А ещё — вот "привидение", которым он как-то завершил один из своих докладов. Я до сих пор помню, хотя сколько времени прошло!
(Image credit: L. Petrov)
А тут — https://lpetrov.cc/2016/08/Tilings-examples/ — есть ещё!

А у Thomas есть ещё кубы — но самые большие он, конечно, в ЛШСМ не повёз:
https://lipn.univ-paris13.fr/~fernique/gallery/famille_arctique.jpg

===
Несколько фотографий со вчерашней (потрясающей!) лекции Светланы Житомирской. "С чего всё начиналось": две верхних последовательности это квадраты и треугольные числа; третья — сколько треугольных чисел помещается на полуинтервал
[n^2, (n+1)^2).

Так, на [1,4) есть 2 треугольных числа, 1 и 3,
на [4,9) есть 1 треугольное число, 6,
на [9,16) есть 2 треугольных числа, 10 и 15,
на [16,25) есть 1 треугольное число, 21,
на [25,36) есть 1 треугольное число, 28
на [36,49) есть 2 треугольных числа, 36 и 45,
и так далее...

Так вот — оказывается, что в последовательности в третьей строчке не бывает ни чисел, больших 2, ни нулей, а также не бывает ни трёх единиц, ни двух двоек подряд (это как раз упражнение на правой стороне доски). Поэтому она режется на группы "21" и "211".

Кто сказал "подстановочные слова"? 🙂

Через несколько минут!

последняя лекция ЛШСМ-2021: Андрей Окуньков расскажет про q-аналоги и кратные дзета-значения — 29.07 в 15:30 будет прямая трансляция, https://youtu.be/EMaHG4VUflc

Продолжим? Так вот, если написать начало такой последовательности, то получается
21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 ...
(я добавил пробел перед каждой двойкой)

Если заменить 21 на единицу, а 211 на двойку, то получается
1 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 2...

Если выкинуть первую единицу, и дальше (опять!) заменить каждую 21 на единицу, а 211 на двойку, то получается
21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 ...

Иии — это буквально та последовательность, которую мы только что видели!

А такая (получающаяся итерированием подстановок) последовательность должна кодироваться поворотом окружности: берём поворот R на какой-то угол \theta, отмечаем дугу I=[0,\theta), и выбираем начальную точку x_0. И пишем один символ (например, "2"), если очередной образ R^n(x_0) попадает на дугу I, и другой (например, "0"), если не попадает.
Тогда подстановки приходят из идеи отображения первого возвращения на дугу I. А именно, для каждой точки x с этой дуги можно посмотреть, когда она в следующий раз вернётся на I — будет некоторая точка T(x), — и сгруппировать символы до момента возвращения.
Тогда дуга I поделится на две поддуги, на одной из которых мы будем читать 2+(сколько-то 1), а на другой — 2+(на одну 1 больше). А если склеить дугу I в окружность — то отображение T оказывается опять её поворотом — на другой угол \theta'.
Называются так получающиеся слова словами (или последовательностями) Штурма; кстати — там есть хорошая анимация:
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sturmian-sequence-from-irrational-rotation.gif
Собственно — буквально то, что мы раньше обсуждали для слова Фибоначчи!