Увидел у коллег задачу выше про треугольник с углами π/7, 2π/7, 4π/7 — то есть (применяя теорему синусов) про тождество
1/sin(π/7) = 1/sin(2π/7) + 1/sin(4π/7).

И по (не совсем прямой) ассоциации с доказательством для суммы обратных квадратов через маяки подумал: вот угол π/7 характерен тем, что после трёх удвоений мы получаем его же, увеличенного на π. А если удвоений будет 4? 5?

И таки да —
1/sin(π/15) = 1/sin(2π/15) + 1/sin(4π/15) + 1/sin(8π/15)

1/sin(π/31) = 1/sin(2π/31) + 1/sin(4π/31) + 1/sin(8π/31) + 1/sin(16π/31),
и так далее.
А в пределе, когда x=π/(2^n-1) — очень-очень маленький угол, получаем формулу для суммы геометрической прогрессии: после умножения на x остаётся
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... .
Собственно, в этом исходно и была ассоциация: рассуждение для маяков восстанавливает формулу для обратных квадратов через точное равенство для окружности с конечным числом маяков, переходя к пределу по числу маяков. Тут же была формула для 3 удвоений и было видно, что предел (геометрическая прогрессия) тоже правильный — резонно было посмотреть, не будет ли справедливо и то, что посередине.

А за доказательство спасибо Г. Мерзону — можно воспользоваться тем, что
1/sin(2x) = ctg(x) - ctg(2x),
после чего в правой части получается телескопическая сумма.

Ну и можно либо её свернуть в ctg(x)-ctg(2^{n-1} x) и доразобрать получившееся тождество уже без большой суммы — либо заметить, что перенеся 1/sin(x) с минусом тоже в правую часть, мы получим
-1/sin(x) = 1/sin(π+x) = 1/sin(2^n x),
так что в итоге получаем
ctg(x)-ctg(2^n x) = ctg(x)-ctg(x+π) =0.

Ох.

Дмитрий Борисович Зимин (28.04.1933–22.12.2021)

основанный им фонд «Династия» помог многому и многим

https://arzamas.academy/mag/1051-math

«Как получилось, что в 1950–60-е годы механико-математический факультет МГУ стал удивительным свободным местом, где, несмотря на противодействие советской власти, работали величайшие ученые мирового уровня? Ученики Колмогорова, Успенского, Арнольда, Манина и других математиков рассказывают о золотом веке мехмата»

новый материал Арзамаса — рассказывают Ильяшенко, Ландо, Сосинский, Тихомиров, Цфасман, Шень и другие

https://mccme.ru/free-books/

Дед Мороз напоминает про страницу, на которой бесплатно доступны файлы множества книг (в основном издательства МЦНМО)

брошюры библиотеки «Математическое просвещение» и Летней школы «Современная математика», доклады семинара «Глобус» и материалы выездного семинара учителей, книги Арнольда и Гельфанда, Прасолова и Шеня и многое другое.

новогодние каникулы — как раз хорошая возможность спокойно почитать

объявлены победители конкурса «Молодая математика России» (продолжение конкурса Пьера Делиня и конкурса фонда «Династия»):

* в категории «аспиранты и молодые ученые без степени» — Семён Абрамян, Ирина Боброва, Константин Жуйков, Вячеслав Жуков, Давид Кумаллагов

* в категории «кандидаты и доктора наук» — Роман Бессонов, Сергей Гайфуллин, Иван Лимонченко, Андрей Рябичев, Андрей Солдатенков

поздравляем!

С Новым Годом!

На N+1 — новогодняя подборка очень красивых погружений в множество Мандельброта с нашим с Ильёй Щуровым комментарием:
https://nplus1.ru/material/2021/12/28/flight

https://mccme.ru/memoria/vda/V_D_Arnold.pdf

Виталий Дмитриевич Арнольд (текст А.В.Хачатуряна в МатПросвещении)

Пара дополнительных ссылок:

https://quyse.itch.io/dual-fractal — очень быстрая и удобная рисовалка (обратите внимание на инструкции внизу — множество Жюлиа меняется не по клику на стороне множества Мандельброта, а по наведению мышки с нажатием Ctrl; зато можно зажать кнопку Ctrl и смотреть, как множество Жюлиа меняется при изменении параметра).

https://sunandstuff.com/mandelbrot/about/ — хороший комментарий (language warning: с использованием слова из четырёх букв на букву "ж" 🙂 )

Как пример похожести множеств Мандельброта и Жюлиа под увеличением —

На этой лекции В. И. Арнольда я присутствовал, тогда ещё школьником-одиннадцатиклассником. И часто её вспоминаю одновременно как сильно на меня повлиявшую и как прекрасный пример "задела на будущее": далеко не всё я тогда понял, но что-то запомнилось "выстрелило" позже, а что-то просто заинтересовало "на посмотреть и разобраться"...

лекция В.И.Арнольда про таинственные математические троицы (НМУ, 1997 год)

В.И.Арнольд. Таинственные математические троицы

«Я постараюсь рассказать о некоторых удивляющих меня явлениях в математике. (…) Речь пойдёт об определённых наблюдениях, которые приводят к очень большому числу теорем и гипотез (…). Но интерес, который они представляют, состоит в общей точке зрения…»

А ещё из тех же "Студенческих чтений" (https://www.mccme.ru/ium/stcht.html ) мне запомнились лекции Манина и Кириллова (кстати — прямо сейчас я слушаю доклад со словами "Пенлеве").
И вообще — записки "Студенческих чтений" (https://www.mccme.ru/free-books/globus/iumlectures1.pdf + https://www.mccme.ru/free-books/globus/globus1.pdf + ...), мне кажется, очень стоит почитать (кстати — они лежат на той самой странице free-books, о которой Дед Мороз недавно напоминал).

Есть такая задача:
На шахматной доске на поле c1 стоит ферзь. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8. Кто выигрывает при правильной игре?
(Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки.)

Понятно, как она решается — стандартной техникой выигрышных/проигрышных позиций. Если ферзь уже стоит в углу h8, то начинающий проиграл. Все клетки, из которых в h8 можно попасть за один ход — выигрышные, нужно просто взять и на это поле h8 пойти:

Теперь — если при ходе начинающего ферзь стоит на одном из полей g6 и f7, то пойти можно только на выигрышные (для ходящего с них) позиции, то есть отдать победу противнику. Значит, они для начинающего проигрышные:

Поэтому с любого из полей, куда можно туда пойти — надо туда ходить и выигрывать:

Значит, e3 и c5 проигрышные, ну а те, откуда на них можно пойти — выигрышные: