Видео очень крутое; давайте я к нему добавлю пару слов.

Теорема о семи окружностях говорит, что если внутри (или снаружи) одной окружности есть "кольцо" из шести её касающихся, в котором каждая касается следующей, то хорды, соединяющие противоположные точки касания, пересекаются в одной точке.

Так вот — можно заметить такую странную вещь. Условие у теоремы сохраняется при применении инверсий (и их композиций). Потому что инверсии переводят окружности в окружности. А в заключении есть прямые — и это понятие не-инвариантно! Зато можно сказать, что прямая это окружность, проходящая через бесконечно удалённую точку.

Поскольку любую точку можно унести на бесконечность инверсией с центром в ней — то мы приходим к тому, что должно бы быть справедливо вот такое утверждение: если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хорды AD, BE и CF пересекаются в одной точке P, то и для любой точки X окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X).
Причём преобразование f:X->f(X) — инволюция, этакая "мнимая инверсия": композиция инверсии с центром в P и гомотетии с тем же центром с отрицательным коэффициентом, чтобы точки ABCDEF перешли в себя (такой есть, потому что теорема о пересекающихся хордах).
И — собственно, вида преобразования f выше как раз достаточно, чтобы это утверждение доказать: ведь так заданное отображение f переводит в себя точки ABCDEF, а также каждую из окружностей ADX, BEX, CFX (потому что переходят в себя две точки + сохраняются углы между окружностями). С другой стороны, у исходных окружностей была общая точка X, значит, у [совпадающих с ними] окружностей-образов есть общая точка f(X).

Более того, опять же, унося инверсией одну точку (Y' ниже) на бесконечность, можно дойти вот до такой формулировки, уже совсем инвариантной относительно инверсий:
Если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хотя бы для любой одной точки Y вне неё три окружности ADY, BEY и CFY пересекаются в ещё одной точке Y', то и для любой точки X три окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X).
(В частности, в одной точке P пересекаются и хорды AD, BE и CF — что соответствует бесконечно удалённой точке X.)

(картинка к рассуждению выше; https://www.geogebra.org/classic/cqjkwyfe )

А ещё — последний шаг рассуждения в том видео это (очень красивый!) переход от модели Пуанкаре к модели Клейна. Этот переход — тождественен на абсолюте (на граничной окружности) и переводит прямые в модели Пуанкаре (т.е. дуги окружностей, перпендикулярных абсолюту) в прямые в модели Клейна (т.е. хорды, соединяющие точки абсолюта). И раз три прямых пересекались в одной точке в модели Пуанкаре — их образы пересекаются в одной точке в модели Клейна.

Image credit: The Seven Circles Theorem, https://youtu.be/m9v0h2ibYpo?t=1063

Так вот — рассуждение выше это альтернативный способ завершить доказательство. А именно: в модели Пуанкаре прямые это дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту — в частности, они сохраняются при инверсии относительно абсолюта. Значит, раз те три окружности, дуги которых это диагонали шестиугольника в модели Пуанкаре — раз они пересекаются в одной точке Y, то они пересекаются и во второй точке Y' — в её инверсном образе относительно абсолюта. А это как раз условие применимости заключительной формулировки.

https://math.hse.ru/announcements/733826494.html

серия из 4 лекций 25 (чт) и 26 (пт) августа

М.А.Цфасман — Марина Вязовская: упаковки шаров
С.К.Ландо — Джун Ху: связь между алгебраической геометрией и комбинаторикой
А.Калмынин — Джеймс Мейнард: промежутки между простыми числами, диофантовы приближения
М. Мариани — Уго Дюминиль-Копен: критичность в статистической механике

https://youtu.be/cDofhN-RJqg

результаты 2-го конкурса ‘Summer of Math Exposition’ от 3Blue1Brown

Приглашаем вас на фестиваль журнала «Квантик» 29 октября

Фестиваль пройдёт в Новой школе по адресу: ул.Мосфильмовская, д.88, корп.5.

С 11:30 до 16:00 мы ждем детей, их родителей и учителей, которые хотят поиграть в интеллектуальные игры, встретиться с неожиданными задачами из разных областей знаний, познакомиться с настоящими изобретателями головоломок, сделать для себя множество открытий или просто понаблюдать, как это делают другие.

Посетите станции с играми и головоломками журнала «Квантик», игры Жени Кац, мастер-классы издательства «Простые правила» и онлайн-школы «Матемагия», станции головоломок известных изобретателей: В.И.Красноухова, Д.Певницкого, К.Гребнева, С.Полозкова; химические, инженерные, математические и лингвистические станции Новой Школы.

Традиционно мы начнем наш фестиваль с увлекательной лекции Сергея Дориченко, главного редактора журнала «Квантик».

Вход на фестиваль бесплатный. Регистрация: nschool.timepad.ru/event/2200443
Для посещения школы нужно иметь с собой паспорт.

На всякий случай — послезавтра, 25 октября будет солнечное затмение, правда, частичное:
https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2022-october-25

(Ниже — скопировано из сообщения годовой давности)

(Сразу: на Солнце нельзя!! смотреть без защиты! И даже солнечных очков недостаточно: они тоже на взгляд прямо на Солнце не рассчитаны!!)

Оптимальный способ наблюдения — делается дырочка (или несколько) в листе картона или плотной бумаги, и смотрится на тень от этого листа:
https://www.timeanddate.com/eclipse/make-pinhole-projector.html
Плюс такого наблюдения — безопасность: при таком наблюдении нет нужды смотреть даже вообще в сторону Солнца.
(Вот тут фотография тени дерева — где таких просветов в листве оказалось много: http://www.astronet.ru/db/msg/1162946 )

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2022-05.2-4.pdf

продолжаем разговор про рождественскую теорему Ферма — рассказ про доступное даже 7-класснику доказательство Спивака с «крылатыми квадратами» (Квантик №5 за 2022 год; Г.Мерзон)

Игорь Моисеевич Кричевер (08.10.1950–01.12.2022)

http://mi.mathnet.ru/umn10015

текст про И.М.Кричевера и его математику

Вот тут лежит видеозапись лекции Игоря Моисеевича, которую он читал в ЛШСМ-2010 (а вот тут — её анонс).

Там (как это зачастую бывает) к концу пошло экспоненциальное нарастание сложности; давайте я чуть-чуть попробую про ту его лекцию — и вообще про « интегрируемую » науку написать. Disclaimer — это не очень « моя » наука, так что до какого-то момента я могу оценить философию и красоту, а потом наступает ощущение, что « тут точно что-то есть дальше, правильный угол, как на это смотреть — но я его не знаю ».

Так вот, начинается лекция традиционно — с рассказа о том, как Джон Скотт Рассел, инженер из Эдинбурга, во время конной прогулки вдоль канала увидел, как при остановке баржи из-под неё вырвалась одиночная волна. И пошла, сохраняя форму, и шла долго-долго. Что, по представлениям тех времён, было невозможно (считалось, что одиночная волна « расползётся »). Так что, хоть он свои наблюдения и описал — ему не поверили…

Через какое-то время появилось уравнение Кортевега-де Фриза KdV, оно же « уравнение мелкой воды »:
u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0;
тут нижние индексы обозначают дифференцирование. И среди решений этого уравнения есть и одиночные бегущие волны - солитоны.

Вот картинка одной такой бегущей волны в три последовательные момента времени, из записок дубнинского курса Натальи Рожковской (они выложены тут — https://mccme.ru/dubna/2019/notes/rozhkovskaya-notes.pdf).

А вот тут Вансан Дюшен (Vincent Duchêne) в начале 5-минутного рассказа про солитоны показывает физический пример:
https://www.youtube.com/watch?v=NeYaCuSUDc8&t=55s

https://nplus1.ru/material/2022/12/13/primal-art

«…Относительно большая доля простых чисел означает также, что у конкретного большого числа, скорее всего, можно просто подкрутить несколько цифр — и получить простое. Это простое замечание породило целое направление: псевдографику, в которой картина изображается в виде простого числа… »

Давайте я продолжу немного про лекцию Кричевера. Так вот — на доске появляется уравнение Кортевега-де Фриза,
u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0.
(И.М. тут сразу говорит, что константы не важны; понятно, что их можно поменять, выбрав другие единицы измерения для t, x и u — иными словами, сделав линейную замену переменной.)

А что вообще об этом уравнении можно сказать?
Давайте для начала выкинем третью производную (и уберём константу): рассмотрим уравнение Римана-Хопфа
u_t - u u_x =0.

Это соответствует тому, что мы смотрим на решение, когда оно очень-очень плоское, и третья производная сильно меньше всего остального (если взять функцию sin(x/100), то первая производная у неё порядка одной сотой, а третья порядка одной миллионной).

Так вот — что же будет происходить?
Если взять вообще уравнение
u_t + u_x=0,
то это будет соответствовать тому, что решение едет вправо с единичной скоростью. Потому что если мы берём функцию u(t,x) на плоскости (t,x) и дифференцируем её в направлении вектора (1,1), то получаем ноль!

Вот картинка решения
u_t + u_x=0
в несколько последовательных моментов времени.

А что, если перед u_x будет множитель c,
u_t + c u_x =0 ?

Тогда на плоскости (x,t) нужно нарисовать постоянное векторное поле (c,1), и уравнение состоит в том, что производная решения вдоль этого векторного поля равна нулю. То есть решение едет вправо со скоростью c:
u(t,x)= f(x-ct),
где f(x)=u(0,x) — начальное состояние системы.

Хорошо, а что, если
u_t + u * u_x =0 ?
(Я поменял знак — это ни на что по сути не влияет, а думать про идущую вправо волну проще.)

Пусть уже есть какая-то функция u(x,t), являющаяся решением. Построим по ней векторное поле на плоскости: в каждой точке (x,t) нарисуем вектор (u(x,t),1) — ещё раз, зависящий от решения u(x,t), которое мы пока что ещё не знаем. Так вот — если продифференцировать решение u(x,t) вдоль (построенного по нему же) векторного поля, то получится в точности ноль — потому что в этом и состоит уравнение.
А значит, на каждой интегральной кривой этого векторного поля решение u постоянно: ведь ограничение u на неё имеет нулевую производную.
Но векторное поле строилось по решению u, и раз на интегральной кривой u постоянна, то эта интегральная кривая это просто прямая(!).