А вот тут Вансан Дюшен (Vincent Duchêne) в начале 5-минутного рассказа про солитоны показывает физический пример:
https://www.youtube.com/watch?v=NeYaCuSUDc8&t=55s
https://www.youtube.com/watch?v=NeYaCuSUDc8&t=55s
YouTube
Vincent Duchêne - Les solitons hydrodynamiques
Qu'est-ce qui pousse un ingénieur Écossais à lancer son cheval au galop le long d'un canal ?
En 1834, John Scott Russell observe la propagation d'une vague de forte amplitude se propageant sans varier de forme sur une très longue distance. Nous verrons comment…
En 1834, John Scott Russell observe la propagation d'une vague de forte amplitude se propageant sans varier de forme sur une très longue distance. Nous verrons comment…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://nplus1.ru/material/2022/12/13/primal-art
«…Относительно большая доля простых чисел означает также, что у конкретного большого числа, скорее всего, можно просто подкрутить несколько цифр — и получить простое. Это простое замечание породило целое направление: псевдографику, в которой картина изображается в виде простого числа… »
«…Относительно большая доля простых чисел означает также, что у конкретного большого числа, скорее всего, можно просто подкрутить несколько цифр — и получить простое. Это простое замечание породило целое направление: псевдографику, в которой картина изображается в виде простого числа… »
N + 1 — главное издание о науке, технике и технологиях
Простое искусство
Всем нам знакомы простые числа, вот они слева направо: 2, 3, 5, 7, 11, 13, и так далее. И чем дальше, тем реже в ряду натуральных чисел попадаются простые — например, среди первой сотни есть 25 простых чисел, а между 10 000 и 10 100 простых уже всего шесть:…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Quanta Magazine
‘Nasty’ Geometry Breaks Decades-Old Tiling Conjecture | Quanta Magazine
Mathematicians predicted that if they imposed enough restrictions on how a shape might tile space, they could force a periodic pattern to emerge. But they were wrong.
Математические байки
Вот тут лежит видеозапись лекции Игоря Моисеевича, которую он читал в ЛШСМ-2010 (а вот тут — её анонс). Там (как это зачастую бывает) к концу пошло экспоненциальное нарастание сложности; давайте я чуть-чуть попробую про ту его лекцию — и вообще про « интегрируемую »…
Давайте я продолжу немного про лекцию Кричевера. Так вот — на доске появляется уравнение Кортевега-де Фриза,
u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0.
(И.М. тут сразу говорит, что константы не важны; понятно, что их можно поменять, выбрав другие единицы измерения для t, x и u — иными словами, сделав линейную замену переменной.)
А что вообще об этом уравнении можно сказать?
Давайте для начала выкинем третью производную (и уберём константу): рассмотрим уравнение Римана-Хопфа
u_t - u u_x =0.
Это соответствует тому, что мы смотрим на решение, когда оно очень-очень плоское, и третья производная сильно меньше всего остального (если взять функцию sin(x/100), то первая производная у неё порядка одной сотой, а третья порядка одной миллионной).
Так вот — что же будет происходить?
Если взять вообще уравнение
u_t + u_x=0,
то это будет соответствовать тому, что решение едет вправо с единичной скоростью. Потому что если мы берём функцию u(t,x) на плоскости (t,x) и дифференцируем её в направлении вектора (1,1), то получаем ноль!
u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0.
(И.М. тут сразу говорит, что константы не важны; понятно, что их можно поменять, выбрав другие единицы измерения для t, x и u — иными словами, сделав линейную замену переменной.)
А что вообще об этом уравнении можно сказать?
Давайте для начала выкинем третью производную (и уберём константу): рассмотрим уравнение Римана-Хопфа
u_t - u u_x =0.
Это соответствует тому, что мы смотрим на решение, когда оно очень-очень плоское, и третья производная сильно меньше всего остального (если взять функцию sin(x/100), то первая производная у неё порядка одной сотой, а третья порядка одной миллионной).
Так вот — что же будет происходить?
Если взять вообще уравнение
u_t + u_x=0,
то это будет соответствовать тому, что решение едет вправо с единичной скоростью. Потому что если мы берём функцию u(t,x) на плоскости (t,x) и дифференцируем её в направлении вектора (1,1), то получаем ноль!
А что, если перед u_x будет множитель c,
u_t + c u_x =0 ?
Тогда на плоскости (x,t) нужно нарисовать постоянное векторное поле (c,1), и уравнение состоит в том, что производная решения вдоль этого векторного поля равна нулю. То есть решение едет вправо со скоростью c:
u(t,x)= f(x-ct),
где f(x)=u(0,x) — начальное состояние системы.
u_t + c u_x =0 ?
Тогда на плоскости (x,t) нужно нарисовать постоянное векторное поле (c,1), и уравнение состоит в том, что производная решения вдоль этого векторного поля равна нулю. То есть решение едет вправо со скоростью c:
u(t,x)= f(x-ct),
где f(x)=u(0,x) — начальное состояние системы.
Хорошо, а что, если
u_t + u * u_x =0 ?
(Я поменял знак — это ни на что по сути не влияет, а думать про идущую вправо волну проще.)
Пусть уже есть какая-то функция u(x,t), являющаяся решением. Построим по ней векторное поле на плоскости: в каждой точке (x,t) нарисуем вектор (u(x,t),1) — ещё раз, зависящий от решения u(x,t), которое мы пока что ещё не знаем. Так вот — если продифференцировать решение u(x,t) вдоль (построенного по нему же) векторного поля, то получится в точности ноль — потому что в этом и состоит уравнение.
А значит, на каждой интегральной кривой этого векторного поля решение u постоянно: ведь ограничение u на неё имеет нулевую производную.
Но векторное поле строилось по решению u, и раз на интегральной кривой u постоянна, то эта интегральная кривая это просто прямая(!).
u_t + u * u_x =0 ?
(Я поменял знак — это ни на что по сути не влияет, а думать про идущую вправо волну проще.)
Пусть уже есть какая-то функция u(x,t), являющаяся решением. Построим по ней векторное поле на плоскости: в каждой точке (x,t) нарисуем вектор (u(x,t),1) — ещё раз, зависящий от решения u(x,t), которое мы пока что ещё не знаем. Так вот — если продифференцировать решение u(x,t) вдоль (построенного по нему же) векторного поля, то получится в точности ноль — потому что в этом и состоит уравнение.
А значит, на каждой интегральной кривой этого векторного поля решение u постоянно: ведь ограничение u на неё имеет нулевую производную.
Но векторное поле строилось по решению u, и раз на интегральной кривой u постоянна, то эта интегральная кривая это просто прямая(!).
Пара быстро набросанных картинок — слева векторное поле, справа мы уже знаем, что его интегральные траектории это прямые.
Соответственно, вот так выглядит построение решения: нужно взять начальное условие, для каждой точки (x_0,0) посмотреть, чему равно u_0=u(x_0,0), начертить на плоскости (x,t) прямую (x_0+tu_0,t) и на ней на всей положить u(x,t)=u_0.
(Для полноты: всё это назвается методом характеристик для уравнения первого порядка.)
И сразу видно, что тут решение может существовать только конечное время: если две такие прямые на плоскости пересекаются — то мы не можем сказать, чему должно равняться решение u в точке их пересечения: одна прямая « говорит » одно, другая — другое.
Ещё можно сказать так. Когда у нас было уравнение
u_t + c u_x =0 ,
то можно было сказать, что по оси x проходит дорога, по которой едут машины, все с одной и той же скоростью c, и « везут » написанные на них значения u.
А теперь машина с надписью u и едет со скоростью u — только вот водители друг друга игнорируют! Так что, как только какая-нибудь более быстрая машина догонит более медленную, всё сломается.
(Для полноты: всё это назвается методом характеристик для уравнения первого порядка.)
И сразу видно, что тут решение может существовать только конечное время: если две такие прямые на плоскости пересекаются — то мы не можем сказать, чему должно равняться решение u в точке их пересечения: одна прямая « говорит » одно, другая — другое.
Ещё можно сказать так. Когда у нас было уравнение
u_t + c u_x =0 ,
то можно было сказать, что по оси x проходит дорога, по которой едут машины, все с одной и той же скоростью c, и « везут » написанные на них значения u.
А теперь машина с надписью u и едет со скоростью u — только вот водители друг друга игнорируют! Так что, как только какая-нибудь более быстрая машина догонит более медленную, всё сломается.
Возвращаясь к волнам —
u_t + u u_x =0
отвечает тому, что кусочек волны « бежит » тем быстрее, чем он выше. В терминах профиля это приводит к тому, что верхушка волны бежит чуть быстрее её основания, передний фронт волны становится всё более и более « крутым », и наконец, волна опрокидывается и решение перестаёт существовать.
(Как, собственно, опрокидываются « барашками » настоящие волны, выбегающие на берег.)
Ну и вот как оно выглядит.
u_t + u u_x =0
отвечает тому, что кусочек волны « бежит » тем быстрее, чем он выше. В терминах профиля это приводит к тому, что верхушка волны бежит чуть быстрее её основания, передний фронт волны становится всё более и более « крутым », и наконец, волна опрокидывается и решение перестаёт существовать.
(Как, собственно, опрокидываются « барашками » настоящие волны, выбегающие на берег.)
Ну и вот как оно выглядит.
Теперь можно спросить себя, что делает другая часть KdV: что, если мы смотрим только на уравнение
u_t + u_xxx =0 ?
Это линейное уравнение — так что его можно решать, как любое другое линейное дифференциальное уравнение: если написано уравнение
u_t = Au,
то для собственного вектора
Au_j = \lambda_j u_j
решением будет u_j * exp(\lambda_j t), ну и дальше решение по линейности раскладывается в линейную комбинацию таких (предположим на секунду, что никаких жордановых клеток нет).
Правда, уравнение на функцию u, то есть на элемент бесконечномерного пространства, но нам это не помешает. Собственные вектора у взятия третьей производной, собственно, совершенно замечательные, это мнимые экспоненты
exp(i ω x)
(мнимые — чтобы не было экспоненциального роста). А разложение по ним называется « преобразование Фурье »!
(Кстати: то, что тут рассматривать надо именно экспоненты, следует из того, что правая часть у нас от x не зависит — поэтому коммутирует со сдвигами. А у коммутирующих операторов « в хорошей ситуации » можно искать общий собственный базис, ну а какая функция при сдвиге аргумента остаётся пропорциональной себе? Конечно, экспонента.)
Если мы посмотрим с этой точки зрения на уравнение
u_t = - c u_x,
то гармоника с частотой ω,
exp(i ω x),
будет собственной для правой части с собственным значением -iωc, так что задаёт решение
exp(-i ω c t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x-ct)),
едущее вправо со скоростью c. И раз с этой скоростью едут все гармоники — то едет и любое другое решение.
Но для
u_t = - u_xxx
собственное значение гармоники exp(i ω x) будет уже -(iω)ˆ3=i ωˆ3, и получается решение
exp(i ωˆ3 t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x+ωˆ2 t)),
едущее с зависящей от частоты ω скоростью ωˆ2. И это несколько решение "сглаживает" — гармоники начинают "разъезжаться". Это такое себе сглаживание (вот вторая производная в этом смысле сработала бы гораздо лучше, но тут не она), но "опрокидыванию" оно всё-таки помешает.
(Disclaimer: в этом месте я добавил к лекции И.М. много пояснений от себя. Если вдруг что не так — all blame is on me.)
u_t + u_xxx =0 ?
Это линейное уравнение — так что его можно решать, как любое другое линейное дифференциальное уравнение: если написано уравнение
u_t = Au,
то для собственного вектора
Au_j = \lambda_j u_j
решением будет u_j * exp(\lambda_j t), ну и дальше решение по линейности раскладывается в линейную комбинацию таких (предположим на секунду, что никаких жордановых клеток нет).
Правда, уравнение на функцию u, то есть на элемент бесконечномерного пространства, но нам это не помешает. Собственные вектора у взятия третьей производной, собственно, совершенно замечательные, это мнимые экспоненты
exp(i ω x)
(мнимые — чтобы не было экспоненциального роста). А разложение по ним называется « преобразование Фурье »!
(Кстати: то, что тут рассматривать надо именно экспоненты, следует из того, что правая часть у нас от x не зависит — поэтому коммутирует со сдвигами. А у коммутирующих операторов « в хорошей ситуации » можно искать общий собственный базис, ну а какая функция при сдвиге аргумента остаётся пропорциональной себе? Конечно, экспонента.)
Если мы посмотрим с этой точки зрения на уравнение
u_t = - c u_x,
то гармоника с частотой ω,
exp(i ω x),
будет собственной для правой части с собственным значением -iωc, так что задаёт решение
exp(-i ω c t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x-ct)),
едущее вправо со скоростью c. И раз с этой скоростью едут все гармоники — то едет и любое другое решение.
Но для
u_t = - u_xxx
собственное значение гармоники exp(i ω x) будет уже -(iω)ˆ3=i ωˆ3, и получается решение
exp(i ωˆ3 t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x+ωˆ2 t)),
едущее с зависящей от частоты ω скоростью ωˆ2. И это несколько решение "сглаживает" — гармоники начинают "разъезжаться". Это такое себе сглаживание (вот вторая производная в этом смысле сработала бы гораздо лучше, но тут не она), но "опрокидыванию" оно всё-таки помешает.
(Disclaimer: в этом месте я добавил к лекции И.М. много пояснений от себя. Если вдруг что не так — all blame is on me.)
Математические байки
Тизер к следующей части 🙂
Итак, следующая часть лекции Кричевера была посвящена парадоксу Ферми-Паста-Улама.
В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.
Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.
В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.
Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.
Колебания можно разложить по Фурье-гармоникам sin kx (в нормировке, когда закреплённые шарики на концах струны отвечают x=0 и x=π) — разложить как положения, так и скорости. И если бы уравнение было линейной струной, то каждая гармоника так бы независимо и колебалась, и распределение энергии между ними не менялось бы. Наоборот, в « тепловом » режиме энергия должна была бы « размазаться » между всеми гармониками.
Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…
Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…
Энрико Ферми, Джон Паста, Святослав Улам, и Мари Цингоу ставят численный эксперимент. На свеже-установленном (в 1952 году) в Лос-Аламосской лаборатории (той самой!) компьютере MANIAC I. Ламповом!
Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).
Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).
Первая страница отчёта 1955 года — с которого как раз и пошла история эффекта.
Ещё фото — одна ячейка (блок?) памяти MANIAC I;
Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg
Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg